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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27576 59084bf3060a05000bf2920b 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $p,q$，数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=a_2=1$，$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$（$n=1,2,3\cdots $）．求证：要使得对任意正整数 $m,n$，均有 $(a_m,a_n)=a_{(m,n)}$，当且仅当 $p=1$ 时成立． 2022-04-17 21:32:05
27575 59084c26060a05000bf29210 高中 解答题 高中习题 证明：如果 $p$ 为素数，则 $p^2\mid \left({\mathrm C}_{2p}^p-2\right)$． 2022-04-17 21:31:05
27574 59084dc4060a050008e62307 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=0$，$a_2=1$，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$，求证：存在一个递增的无穷等差整数列，与数列 $\{a_n\}$ 无公共项． 2022-04-17 21:30:05
27501 59094cdb060a050008cff4cb 高中 解答题 高中习题 已知 $M=1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1n$，其中 $n\in\mathbb N$ 且 $n\geqslant 2$．求证：$M$ 必然可以写成 $\dfrac km$ 的形式，其中 $k$ 为奇数而 $m$ 为偶数． 2022-04-17 21:52:04
27470 5909748639f91d0009d4bfba 高中 解答题 高中习题 试确定所有使得 $\left({\rm C}_n^0+{\rm C}_n^1+{\rm C}_n^2+{\rm C}_n^3\right)\mid 2^n$ 的正整数 $n$（$n\geqslant 3$）． 2022-04-17 21:32:04
27467 590974e439f91d0009d4bfc1 高中 解答题 高中习题 写出连续 $100$ 个合数． 2022-04-17 21:30:04
27456 5909877139f91d0008f05062 高中 解答题 自招竞赛 正方形 $ABCD$ 的面积为 $2016$，正方形 $IJKL$ 的 $4$ 个顶点分别落在正方形 $ABCD$ 的 $4$ 条边上，其面积为正整数．正方形 $EFGH$ 的 $4$ 个顶点分别落在正方形 $IJKL$ 的 $4$ 条边上，其中心与正方形 $ABCD$ 的中心重合，$EF \parallel AB$，且其面积是一个小于 $2016$ 的正整数．求正方形 $IJKL$ 面积的最大值与最小值的差． 2022-04-17 21:23:04
27451 5909887f39f91d0009d4c067 高中 解答题 自招竞赛 对于正整数 $N,k$，若存在正整数 $a$，使得 $a^k$ 恰好有 $N$ 个正因数，则称 $N$ 是一个" $k$ -好数"．求小于 $1000$ 的正整数中，既不是" $7$ -好数"又不是" $8$ -好数"的正整数的个数． 2022-04-17 21:20:04
27435 5909904c38b6b400072dd210 高中 解答题 自招竞赛 设 $p$ 与 $p+2$ 均是素数，$p>3$．数列 $\{a_n\}$ 定义为$$a_1=2,a_n=a_{n-1}+\left\lceil\dfrac{pa_{n-1}}n\right\rceil,n=2,3,\cdots.$$这里 $\left\lceil x\right\rceil$ 表示不小于实数 $x$ 的最小整数．证明：对 $n=3,4,\cdots,p-1$ 均有 $n\mid pa_{n-1}+1$ 成立． 2022-04-17 21:13:04
27363 590ac6486cddca00092f6fc2 高中 解答题 自招竞赛 求具有下列性质的所有正整数 $k$：对任意正整数 $n$，$2^{(k-1)n+1}$ 不整除 $\dfrac{(kn)!}{n!}$． 2022-04-17 21:31:03
27282 590bd8806cddca0008610fec 高中 解答题 自招竞赛 已知正整数 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 满足：任四个数之和构成集合 $\left\{ {44,45,46,47} \right\}$，求 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 的值． 2022-04-17 21:46:02
27274 590bdb296cddca00078f3aa9 高中 解答题 自招竞赛 证明方程 $x_1^4+x_2^4+\cdots+x_{14}^4=1599$ 不存在整数解． 2022-04-17 21:42:02
27239 590beea0d42ca7000a7e7de0 高中 解答题 自招竞赛 已知正整数数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2$，$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$（$n\in\mathbb N^*$），求证：数列 $\{a_n\}$ 中的任意两项都互质． 2022-04-17 21:26:02
27234 590bf0ead42ca700077f646c 高中 解答题 自招竞赛 证明：设 $m$ 是任一正整数，则 $a_m=\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+\dfrac15+\cdots+\dfrac1{2^m}$ 不是整数． 2022-04-17 21:22:02
27190 590c27bc857b4200085f8596 高中 解答题 高中习题 求证：任取四个不同的正整数，一定可以用 $24$ 点的规则（用四则运算符号和括号连接这四个数）算出一个 $24$ 的倍数． 2022-04-17 21:57:01
27169 590fc666857b4200092b0728 高中 解答题 自招竞赛 方程 $ax^2+(a+4)x+a+1=0$ 有且仅有一个素数根，求 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 21:45:01
26698 591407e3e020e7000a798d0f 高中 解答题 高中习题 若正整数 $n$ 满足 $\sigma(n)=2n$，则称 $n$ 为完全数．求证：偶数 $n$ 为完全数的充分必要条件是\[
n=2^{k-1}\left(2^k-1\right),
\]且 $2^k-1$ 是素数．		 2022-04-17 20:23:57
26599 5961010e3cafba0009670bb2 高中 解答题 高中习题 对于任意一个大于 $7$ 的素数 $p$，求证：$p$ 的倍数中存在“所有数位上的数都是 $1$”的数．（例如：$13\times 8547=111111,17\times 65359477124183=1111111111111111.$） 2022-04-17 20:31:56
26424 597ea66dd05b90000c80586e 高中 解答题 高中习题 将 $1 , 2 , \cdots , 4n$ 分成 $n$ 组，满足每组中有一个数是另三个数之算术平均数，求所有可能的 $n \in {{\mathbb{N}}^ * }$． 2022-04-17 20:51:54
26312 596c16c322d14000091d731d 高中 解答题 自招竞赛 试证明：集合 $A=\{2,2^2,\cdots,2^n,\cdots\}$ 满足 2022-04-17 20:48:53
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