试确定所有使得 $\left({\rm C}_n^0+{\rm C}_n^1+{\rm C}_n^2+{\rm C}_n^3\right)\mid 2^n$ 的正整数 $n$（$n\geqslant 3$）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$3,7,23$
【解析】
因为左边的组合数的和等于 $\dfrac 16(n+1)(n^2-n+6)$，所以题意即$$(n+1)(n^2-n+6)=3\cdot 2^m,m\in\mathbb N,m<n.$$情形一 $n+1=2^k$．
此时$$2^k[(2^k-1)^2-(2^k-1)+6]=3\cdot 2^m,$$即$$2^{3k}+2^{k+3}-2^{2k+1}-2^{2k}=2^{m+1}+2^m,$$有解 $(k,m)=(2,4),(3,7)$，而当 $k\geqslant 4$ 时，有$$3k>2k+1>2k>k+3,$$于是该方程无解．
情形二 $n+1=3\cdot 2^k$．
此时$$3\cdot 2^k[(3\cdot 2^k-1)^2-(3\cdot 2^k-1)+6]=3\cdot 2^m,$$即$$2^{3k+3}+2^{3k}-2^{2k+3}-2^{2k}+2^{k+3}=2^m,$$有解 $(k,m)=(3,12)$，而当 $k\geqslant 4$ 时，有$$3k+3>3k>2k+3>2k>k+3,$$于是该方程无解．
综上所述，所有符合题意的正整数 $n$ 为 $3,7,23$．
此时$$2^k[(2^k-1)^2-(2^k-1)+6]=3\cdot 2^m,$$即$$2^{3k}+2^{k+3}-2^{2k+1}-2^{2k}=2^{m+1}+2^m,$$有解 $(k,m)=(2,4),(3,7)$，而当 $k\geqslant 4$ 时，有$$3k>2k+1>2k>k+3,$$于是该方程无解．
此时$$3\cdot 2^k[(3\cdot 2^k-1)^2-(3\cdot 2^k-1)+6]=3\cdot 2^m,$$即$$2^{3k+3}+2^{3k}-2^{2k+3}-2^{2k}+2^{k+3}=2^m,$$有解 $(k,m)=(3,12)$，而当 $k\geqslant 4$ 时，有$$3k+3>3k>2k+3>2k>k+3,$$于是该方程无解．
综上所述，所有符合题意的正整数 $n$ 为 $3,7,23$．
答案
解析
备注
