已知 $M=1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1n$，其中 $n\in\mathbb N$ 且 $n\geqslant 2$．求证：$M$ 必然可以写成 $\dfrac km$ 的形式，其中 $k$ 为奇数而 $m$ 为偶数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $2^p\leqslant n<2^{p+1}$，而 $2^q \mid\mid n!$，其中 $p,q\in\mathbb N^{*}$，则$$\dfrac{M\cdot n!}{2^{q-p}}=\dfrac{n!}{2^{q-p}}+\dfrac{n!}{2\cdot 2^{q-p}}+\cdots +\dfrac{n!}{2^p\cdot 2^{q-p}}+\cdots +\dfrac{n!}{n\cdot 2^{q-p}},$$此时右边只有 $\dfrac{n!}{2^p\cdot 2^{q-p}}=\dfrac{n!}{2^q}$ 为奇数，这样就得到了$$m=\dfrac{n!}{2^{q-p}},k=\dfrac{n!}{2^{q-p}}+\dfrac{n!}{2\cdot 2^{q-p}}+\cdots +\dfrac{n!}{n\cdot 2^{q-p}}$$符合题意，因此原命题得证．
答案
解析
备注
