证明方程 $x_1^4+x_2^4+\cdots+x_{14}^4=1599$ 不存在整数解．
【难度】
【出处】
2014年中国人民大学财经学院金融学与数学实验班选拔试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
若 $m=2k,k \in {\mathbb Z}$，则 $m\equiv 0 \pmod {16}$．若 $m=2k+1,k \in {\mathbb Z}$，由于\[\begin{split} (2k+1)^4&=16k^4+32k^3+24k^2+8k+1\\&=(16k^4+32k^3+16k^2)+8k(k+1)+1,\end{split}\]所以此时 $m\equiv 1 \pmod {16}$．而$$1599\equiv 15 \pmod {16},$$故方程 $x_1^4+x_2^4+\cdots+x_{14}^4=1599$ 不存在整数解．
答案
解析
备注
