设 $p$ 与 $p+2$ 均是素数，$p>3$．数列 $\{a_n\}$ 定义为$$a_1=2,a_n=a_{n-1}+\left\lceil\dfrac{pa_{n-1}}n\right\rceil,n=2,3,\cdots.$$这里 $\left\lceil x\right\rceil$ 表示不小于实数 $x$ 的最小整数．证明：对 $n=3,4,\cdots,p-1$ 均有 $n\mid pa_{n-1}+1$ 成立．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
首先注意，$\{a_n\}$ 是整数数列．
对 $n$ 用数学归纳法．当 $n=3$ 时，由条件知 $a_2=2+p$，故 $p a_2+1=(p+1)^2$．因 $p$ 与 $p+2$ 均是素数，且 $p>3$，故必须 $3\mid p+1$．因此 $3\mid p a_2+1$，即 $n=3$ 时结论成立．
对 $3<n\leqslant p-1$，设对 $k=3,\cdots,n-1$ 成立，此时 $\left\lceil \dfrac{pa_{k-1}}{k}\right\rceil=\dfrac{pa_{k-1}+1}{k}$，故\[\begin{split}pa_{k-1}+1&=p\left(a_{k-2} +\left\lceil \dfrac{pa_{k-2}}{k-1}\right\rceil\right)+1\\ &=p\left(a_{k-2}+\dfrac{pa_{k-2}+1}{k-1}\right)+1\\ &=\dfrac{(pa_{k-2}+1)(p+k-1)}{k-1}.\end{split}\]故对 $3<n\leqslant p-1$，有\[\begin{split}pa_{n-1}+1&=\dfrac{p+n-1}{n-1}(pa_{n-2}+1)\\ &=\dfrac{p+n-1}{n-1}\cdot\dfrac{p+n-2}{n-2}(pa_{n-3}+1)\\&=\cdots \\ &=\dfrac{p+n-1}{n-1}\cdot \dfrac{p+n-2}{n-2}\cdots \dfrac{p+3}{3}(pa_2+1),\end{split}\]因此$$pa_{n-1}+1=\dfrac{2n(p+1)}{(p+n)(p+2)}{\rm C}_{p+n}^{n}.$$由此知（注意 ${\rm C}_{p+n}^{n}$ 是整数）$$n\mid {(p+n)(p+2)(pa_{n-1}+1)}.$$因 $n<p$，$p$ 为素数，故 $(n,n+p)=(n,p)=1$，又 $p+2$ 是大于 $n$ 的素数，故 $(n,p+2)=1$，从而 $n$ 与 $(p+n)(p+2)$ 互素，故 $n\mid {pa_{n-1}+1}$．由数学归纳法知，本题得证．
对 $n$ 用数学归纳法．当 $n=3$ 时，由条件知 $a_2=2+p$，故 $p a_2+1=(p+1)^2$．因 $p$ 与 $p+2$ 均是素数，且 $p>3$，故必须 $3\mid p+1$．因此 $3\mid p a_2+1$，即 $n=3$ 时结论成立．
对 $3<n\leqslant p-1$，设对 $k=3,\cdots,n-1$ 成立，此时 $\left\lceil \dfrac{pa_{k-1}}{k}\right\rceil=\dfrac{pa_{k-1}+1}{k}$，故\[\begin{split}pa_{k-1}+1&=p\left(a_{k-2} +\left\lceil \dfrac{pa_{k-2}}{k-1}\right\rceil\right)+1\\ &=p\left(a_{k-2}+\dfrac{pa_{k-2}+1}{k-1}\right)+1\\ &=\dfrac{(pa_{k-2}+1)(p+k-1)}{k-1}.\end{split}\]故对 $3<n\leqslant p-1$，有\[\begin{split}pa_{n-1}+1&=\dfrac{p+n-1}{n-1}(pa_{n-2}+1)\\ &=\dfrac{p+n-1}{n-1}\cdot\dfrac{p+n-2}{n-2}(pa_{n-3}+1)\\&=\cdots \\ &=\dfrac{p+n-1}{n-1}\cdot \dfrac{p+n-2}{n-2}\cdots \dfrac{p+3}{3}(pa_2+1),\end{split}\]因此$$pa_{n-1}+1=\dfrac{2n(p+1)}{(p+n)(p+2)}{\rm C}_{p+n}^{n}.$$由此知（注意 ${\rm C}_{p+n}^{n}$ 是整数）$$n\mid {(p+n)(p+2)(pa_{n-1}+1)}.$$因 $n<p$，$p$ 为素数，故 $(n,n+p)=(n,p)=1$，又 $p+2$ 是大于 $n$ 的素数，故 $(n,p+2)=1$，从而 $n$ 与 $(p+n)(p+2)$ 互素，故 $n\mid {pa_{n-1}+1}$．由数学归纳法知，本题得证．
答案
解析
备注
