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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20765 5c74fedb210b284290fc2456 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ 满足 ${{x}_{0}}=0$，$\left| {{x}_{k}} \right|=\left| {{x}_{k-1}}+3 \right|$，$k\geqslant 1$ 。试求 $\left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{2006}} \right|$ 的最小值。数列 $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$ 满足 ${{x}_{0}}=0$，$\left| {{x}_{k}} \right|=\left| {{x}_{k-1}}+3 \right|$，$k\geqslant 1$ 。试求 $\left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{2006}} \right|$ 的最小值。 2022-04-17 20:48:02
20754 5c75f10c210b28428f14cce0 高中 解答题 自招竞赛 某个数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 定义如下：${{a}_{1}}={{a}_{2}}={{a}_{3}}\text{=}1$，对宇任意的正整数 $n$，有 ${{a}_{n+3}}={{a}_{n+2}}+{{a}_{n+1}}+{{a}_{n}}$ 。现已知 ${{a}_{28}}=6090307 {{a}_{29}}=11201821 {{a}_{30}}=20603361$，试求 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{28}{{{a}_{k}}}$ 除以1000的余数。 2022-04-17 20:42:02
20744 5c75f9c4210b28428f14cd14 高中 解答题 自招竞赛 令
$\displaystyle N=\sum\limits_{k=1}^{1000}{{}}k\left( \left\lceil {{\log }_{\sqrt{2}}}k \right\rceil -\left\lfloor {{\log }_{\sqrt{2}}}k \right\rfloor \right)$
求 $N$ 被1000除的余数。（这里 $\left\lfloor x \right\rfloor $ 表示不大于 $x$ 的最大整数，而 $\left\lceil x \right\rceil $ 表示不小于 $x$ 的最小整数。）		 2022-04-17 20:37:02
20740 5c75fa11210b284290fc24c1 高中 解答题 自招竞赛 定义数列 $\left| {{a}_{n}} \right|$ 如下：${{a}_{1}}=3$，${{a}_{2}}=3$，当 $n\geqslant 2$ 时，${{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}=a_{n}^{2}+2007$ 。求小于等于 $\frac{a_{2007}^{2}a_{2006}^{2}}{{{a}_{2007}}{{a}_{2006}}}$ 的最大整数。 2022-04-17 20:35:02
20729 5c76002d210b28428f14cd5a 高中 解答题 自招竞赛 数列 ${{x}_{0}}$，${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$，…为递增的等比数列，且每一项都是 $3$ 的整数次幂，已知
$\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{7}{\log \left( {{x}_{n}} \right)}=308$，$\displaystyle 56\leqslant {{\log }_{3}}\left( \sum\limits_{n=0}^{7}{{{x}_{n}}} \right)\leqslant 57$，
试求 ${{\log }_{3}}\left( {{x}_{14}} \right)$ 。		 2022-04-17 20:29:02
20721 5c761a7a210b28428f14cd91 高中 解答题 自招竞赛 三角形数表中的第一行数字按照奇数1，3，5，…，99的递增顺序书写，在第一行下面的每一行比上一行少一个数字，最底部的一行只有一个数字．每行的相邻两个数字之和写在这两个数字中间的下一行的位置．这个数表中有多少个数是67的倍数？ 2022-04-17 20:25:02
20706 5c762032210b28428f14cdc4 高中 解答题 自招竞赛 定义数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 如下：${{a}_{0}}=1$，${{a}_{1}}=1$，当 $n\geqslant 2$ 时有 ${{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+\frac{a_{n-1}^{2}}{{{a}_{n-2}}}$；定义数列 $\left\{ {{b}_{n}} \right\}$ 如下：${{b}_{0}}=1, {{b}_{1}}=3$，当 $n\geqslant 2$ 时有 ${{b}_{n}}={{b}_{n-1}}+\frac{b_{n-1}^{2}}{{{b}_{n-2}}}$．求 $\frac{{{b}_{32}}}{{{a}_{32}}}$ 的值． 2022-04-17 20:15:02
20690 5c763c6b210b28428f14ce2f 高中 解答题 自招竞赛 正整数数列 $\left\{ {{a}_{i}} \right\}$ 定义为 ${{a}_{n+2}}=\frac{{{a}_{n}}+2009}{1+{{a}_{n+1}}}\left( n\geqslant 1 \right)$．求 ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}$ 的最小值． 2022-04-17 20:05:02
20666 5c774cd5210b284290fc25bd 高中 解答题 自招竞赛 对每个正整数 $n$，设 $\displaystyle f\left( n \right)=\sum\limits_{k=1}^{100}{\left[ {{\log }_{10}}\left( kn \right) \right]}$ 。求 $n$ 的最大值，使得 $f\left( n \right)\leqslant 300$（$\left[ x \right]$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数）。 2022-04-17 20:53:01
20650 5927923b74a309000798cde6 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f\left( x \right) = {x^3}$，$g\left( x \right) = x + \sqrt x $． 2022-04-17 20:44:01
20645 5927a23674a309000813f69e 高中 解答题 高考真题 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 和为 $S_{n}\}$，且 $\dfrac{S_{n}}{a_{n}}=\dfrac{1}{2}a_{n+1}(n\in\mathbb N^{*})$，其中 $a_{1}=1$，$a_{n}\ne 0$． 2022-04-17 20:41:01
20633 5c8b1b2d210b286d07454108 高中 解答题 自招竞赛 凸 $18$ 边形的内角角度构成了整数等差数列。求最小内角的度数。 2022-04-17 20:35:01
20631 5c8b1b36210b286d0745410e 高中 解答题 自招竞赛 某等比数列的前 $2011$ 项之和为 $200$ 。前 $4022$ 项之和为 $380$ 。求前 $6033$ 项之和。 2022-04-17 20:34:01
20625 5c8b1b5b210b286d125ef29c 高中 解答题 自招竞赛 ${{M}_{n}}$ 为满足以下条件的 $n\times n$ 矩阵：对 $1\leqslant i\leqslant n\text{,}{{m}_{i\text{,}i}}\text{=10;}$ 对 $1\leqslant i\leqslant n-1\text{,}{{m}_{i+1\text{,}i}}\text{=}{{m}_{i\text{,i}+1}}\text{=}3\text{;}$ 其余元素为 $0$ 。令 ${{D}_{n}}$ 为 ${{M}_{n}}$ 行列式的值。记 $\displaystyle \sum\limits_{n\text{=}1}^{\infty }{\frac{1}{8{{D}_{n}}+1}\text{=}}\frac{p}{q}$，其中 $p\text{,}q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 。 2022-04-17 20:30:01
20615 5c8efe67210b286d125ef31b 高中 解答题 自招竞赛 某等差数列各项之和为 $\text{715}$ 。现将首项加 $\text{1}$，第二项加 $\text{3}$，第三项加 $\text{5}$，依次规律，第 $k$ 项加 $2k-1$ 。形成的新数列各项之和为 $\text{836}$ 。求原始数列首项，中间项和末项之和。 2022-04-17 20:25:01
20603 5c8f5655210b286d074541bd 高中 解答题 自招竞赛 等比数列 ${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}{{a}_{3}}\text{,}\cdots $ 和 ${{b}_{1}}\text{,}{{b}_{2}}\text{,}{{b}_{3}}\text{,}\cdots $ 有相同的公比，且 ${{a}_{1}}\text{=}27\text{,}{{b}_{1}}\text{=}99\text{,}{{a}_{15}}\text{=}{{b}_{11}}$ 。求 ${{a}_{9}}$ 2022-04-17 20:20:01
20579 5c908883210b286d125ef40b 高中 解答题 自招竞赛 $N$ 为满足下述条件的有序三元数组 $\left( A,B,C \right)$ 的个数。（a）$0\leqslant A<B<C\leqslant 99$，（b）存在整数 $a\text{,}b\text{,}c$ 和质数 $p$ 满足 $0\leqslant b\text{}a\text{}c\text{}p$，（c）$p$ 整除 $A-a\text{,}B-b\text{,}C-c$，（d）$\left( A\text{,}B\text{,}C \right)\left( b\text{,}a\text{,}c \right)$ 构成等差数列。求 $N$ 2022-04-17 20:07:01
20566 5c91cd17210b286d125ef466 高中 解答题 自招竞赛 对正整数 $n\text{,}k$，令 $f\left( n\text{.}k \right)$ 为 $n$ 除以 $k$ 所得余数。令 $F\left( n \right)\text{=}\underset{1\leqslant k\leqslant \frac{n}{2}}{\mathop{\max }} f\left( n\text{,}k \right)$，$n>1$ 。求 $\displaystyle \sum\limits_{n\text{=}20}^{100}{F\left( n \right)}$ 模 $1000$ 的值 2022-04-17 20:59:00
20530 5c949308210b286d125ef5dd 高中 解答题 自招竞赛 称 $\text{1}\text{2}\cdots \text{,}n$ 的一个排列 ${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots {{a}_{k}}$ 是类上升的如果 ${{a}_{k}}\leqslant {{a}_{k+1}}+2\left( 1\leqslant k\leqslant n-1 \right)$ 。例如 $54321$ 和 $14253$ 都是 $1\text{,}2\text{,}3\text{,}4\text{,}5$ 的类上升排列，但 $45123$ 不是。求 $1\text{,}2\text{,}3\text{,}4\text{,}5\text{,}6\text{,}7$ 的类上升排列数 2022-04-17 20:38:00
20527 5c94931d210b286d125ef5e8 高中 解答题 自招竞赛 数列 ${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}{{a}_{3}}\text{,}\cdots $ 满足 $\displaystyle {{a}_{n}}\text{=}\sum\limits_{k\text{=}1}^{n}{\sin k}$，其中 $k$ 是弧度制下的值。求第 $100$ 个满足 ${{a}_{n}}\text{}0$ 的下标 2022-04-17 20:37:00
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