对正整数 $n\text{,}k$，令 $f\left( n\text{.}k \right)$ 为 $n$ 除以 $k$ 所得余数。令 $F\left( n \right)\text{=}\underset{1\leqslant k\leqslant \frac{n}{2}}{\mathop{\max }} f\left( n\text{,}k \right)$，$n>1$ 。求 $\displaystyle \sum\limits_{n\text{=}20}^{100}{F\left( n \right)}$ 模 $1000$ 的值
【难度】
【出处】
2013年第31届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
512
【解析】
（以下省去严格证明）我们观察可得 $\begin{matrix}
20\equiv 6\left( \bmod 7 \right) \\
21\equiv 5\left( \bmod 8 \right) \\
22\equiv 6\left( \bmod 8 \right) \\
23\equiv 7\left( \bmod 8 \right) \\
24\equiv 6\left( \bmod 9 \right) \\
25\equiv 7\left( \bmod 9 \right) \\
26\equiv 8\left( \bmod 9 \right) \\
\end{matrix}$，余数为若干组三个连续整数，根据此规律 $\begin{matrix}99\equiv 31\left( \bmod 34 \right) \\
100\equiv 32\left( \bmod 34 \right) \\
\end{matrix}$，则和为 $6+3\times\left( 6+\cdots +31 \right)+31+32\text{=}1512$，所求值为 $512$
20\equiv 6\left( \bmod 7 \right) \\
21\equiv 5\left( \bmod 8 \right) \\
22\equiv 6\left( \bmod 8 \right) \\
23\equiv 7\left( \bmod 8 \right) \\
24\equiv 6\left( \bmod 9 \right) \\
25\equiv 7\left( \bmod 9 \right) \\
26\equiv 8\left( \bmod 9 \right) \\
\end{matrix}$，余数为若干组三个连续整数，根据此规律 $\begin{matrix}99\equiv 31\left( \bmod 34 \right) \\
100\equiv 32\left( \bmod 34 \right) \\
\end{matrix}$，则和为 $6+3\times\left( 6+\cdots +31 \right)+31+32\text{=}1512$，所求值为 $512$
答案
解析
备注
