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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27597 5935030a7581fe0007caa939 高中 解答题 高中习题 求证：$\arctan 1+\arctan \dfrac 12+\arctan \dfrac 13=\dfrac{\mathrm \pi} 2$． 2022-04-17 21:45:05
27449 590988d939f91d000a7e457d 高中 解答题 高中习题 设复数 $z$ 满足 $|z|=1$，求 $\left|z^3-3z-2\right|$ 的取值范围． 2022-04-17 21:20:04
27329 590ad4d86cddca0008610f16 高中 解答题 自招竞赛 若复数 $z$ 满足 $|z|=1$，求 $\left|z^3-z+2\right|^2$ 的最小值． 2022-04-17 21:11:03
27305 590ae7206cddca00092f70c5 高中 解答题 高中习题 分解因式：$x^4+3x^3+\dfrac 92x^2+3x+1$． 2022-04-17 21:58:02
26728 5912b42be020e7000878f9bd 高中 解答题 自招竞赛 已知 ${\mathrm{e}^{\theta \mathrm{i}}}=\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta $，求值 $\left| 2+2{\mathrm{e}^{\frac{2}{5}\pi\mathrm{i}}}+{\mathrm{e}^{\frac{6}{5}\pi\mathrm{i}}} \right|$． 2022-04-17 20:39:57
26716 59608d273cafba0009670b5d 高中 解答题 自招竞赛 已知 $|z| = 1$，$k$ 是实数，$z$ 是复数，求 $\left| {{z^2} + kz + 1} \right|$ 的最大值． 2022-04-17 20:32:57
25779 597e80f9d05b90000916507c 高中 解答题 高中习题 求复数 $2 + 2{{\rm{e}}^{\frac{2}{5}{\rm{\pi i}}}} + {{\rm{e}}^{\frac{6}{5}{\rm{\pi i}}}}$ 的模，其中 $r{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }} = r\left( {\cos \theta + {\rm{i}}\sin \theta } \right)$． 2022-04-17 20:01:49
22484 59bba5bc8b403a0007a89022 高中 解答题 高中习题 若 $\triangle ABC$ 的三个顶点对应的复数为 $z_1,z_2,z_3$，且满足 $\dfrac{z_2-z_1}{z_3-z_1}=1+2{\rm i}$，求 $\triangle ABC$ 的面积与其最长边的平方之比． 2022-04-17 20:38:18
21086 5c6a5ef3210b281db9f4c7e8 高中 解答题 自招竞赛 令 ${{\omega }_{1}}$，${{\omega }_{2}}$，……，${{\omega }_{n}}$ 为复数，如果直线 $l$ 包含点（复数）${{z}_{1}}$，${{z}_{2}}$，…，${{z}_{n}}$，并使得 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{\left( {{z}_{k}}-{{\omega }_{k}} \right)}=0$，则称 $l$ 为 ${{\omega }_{1}}$，${{\omega }_{2}}$，…，${{\omega }_{n}}$ 的“平均直线”．
对于 ${{\omega }_{1}}=32+170\text{i}$，${{\omega }_{2}}=-7+64\text{i}$，${{\omega }_{3}}=-9+200\text{i}$，${{\omega }_{4}}=1+27\text{i}$，${{\omega }_{5}}=-14+43\text{i}$，有唯一的一条纵轴截距为 $y=3$ 的“平均直线”．
对于 ${{\omega }_{1}}=32+170\text{i}$，${{\omega }_{2}}=-7+64\text{i}$，${{\omega }_{3}}=-9+200\text{i}$，${{\omega }_{4}}=1+27\text{i}$，${{\omega }_{5}}=-14+43\text{i}$，有唯一的一条纵轴截距为 $y=3$ 的“平均直线”，求此直线的斜率．		 2022-04-17 20:45:05
21000 5c6e14c0210b281dbaa935b0 高中 解答题 自招竞赛 对于定实数 $a$，$b$，$c$，$d$，方程 ${{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0$ 有四个非实数根，其中两个根的积是 $13+\text{i}$，另两个根的和是 $3+4\text{i}$，其中 $\text{i}=\sqrt{-1}$，求 $b$． 2022-04-17 20:54:04
20916 5c78e938210b284290fc2663 高中 解答题 自招竞赛 已知复数 $z$ 满足 $z+\frac{1}{z}=2\cos 3{}^\circ $，求大于 ${{2}^{2000}}+\frac{1}{{{z}^{2000}}}$ 的最小整数． 2022-04-17 20:10:04
20885 5c78f26e210b284290fc269e 高中 解答题 自招竞赛 设满足 ${{z}^{28}}-{{z}^{8}}-1=0$ 及 $\left| z \right|=1$ 的复数共有 $2n$ 个，这些复数都可以写成如下形式 ${{z}_{m}}=\cos {{\theta }_{m}}+\text{i}\sin {{\theta }_{m}}$，其中 $0\leqslant {{\theta }_{1}}<{{\theta }_{2}}<\cdots <{{\theta }_{2n}}<360$，${{\theta }_{i}}$ 以度为单位，求 ${{\theta }_{2}}+{{\theta }_{4}}+\cdots +{{\theta }_{2n}}$． 2022-04-17 20:56:03
20872 5c6fa0a9210b28428f14c919 高中 解答题 自招竞赛 对于所有满足 $z\ne \text{i}$ 的复数 $z$ 都有 $F\left( z \right)=\frac{z+\text{i}}{z-\text{i}}$．对于所有正整数 $n$ 有 ${{z}_{n}}=F\left( {{z}_{n-1}} \right)$．若 ${{z}_{0}}=\frac{1}{137}+\text{i}$，${{z}_{2002}}=a+b\text{i}$，其中 $a$，$b$ 为实数．求 $a+b$ 的值． 2022-04-17 20:48:03
20606 5c8efed5210b286d125ef34d 高中 解答题 自招竞赛 复数 $a\text{,}b\text{,}c$ 是多项式 $P\left( z \right)\text{=}{{z}^{3}}+qz+r$ 的零点且 ${{\left| a \right|}^{2}}+{{\left| b \right|}^{2}}+{{\left| c \right|}^{2}}\text{=}250$ 。 $a\text{,}b\text{,}c$ 对应在复平面的点构成直角三角形，其斜边长为 $h$ 。求 ${{h}^{2}}$ 。 2022-04-17 20:21:01
20543 5c944b84210b286d125ef57b 高中 解答题 自招竞赛 复数 $z$ 满足 $\left| z \right|\text{=}2014$，复数 $\omega $ 满足 $\frac{1}{z+\omega }\text{=}\frac{1}{z}+\frac{1}{\omega }$，以 $z\text{,}\omega $ 在复平面上对应点为顶点构成多边形 $P$，多边形 $P$ 的面积是 $n\sqrt{3}$，其中 $n$ 为正整数，求 $n$ 模 $1000$ 的值 2022-04-17 20:46:00
20524 5c6a2177210b281dbaa93303 高中 解答题 自招竞赛 设两个复数 $x$，$y$ 的平方和是7，其立方和是10，$x+y$ 可能取的实数值最大的是几？ 2022-04-17 20:35:00
20445 5c9996c0210b280b2256bfae 高中 解答题 自招竞赛 ${{z}_{1}}\text{=}18+83i\text{,}{{z}_{2}}\text{=}18+39i\text{,}{{z}_{3}}\text{=}78+99i\text{,}i\text{=}\sqrt{-1}$ 。对使得 $\frac{{{z}_{3}}-{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}-{{z}_{1}}}\text{.}\frac{z-{{z}_{2}}}{z-{{z}_{3}}}$ 为实数的复数 $z$，找出其中虚部的最大的一个，求其实部的值 2022-04-17 19:51:59
20419 5c9c2c88210b280b2256c088 高中 解答题 自招竞赛 $N$ 是满足 $\left| z \right|\text{=}1\text{,}{{z}^{6\text{!}}}-{{z}^{5\text{!}}}$ 为实数的复数 $z$ 的个数。求 $N$ 模 $1000$ 的值 2022-04-17 19:37:59
20291 5c8f5678210b286d074541d6 高中 解答题 自招竞赛 复数 $z\text{,}w$ 满足 $z+\frac{20i}{w}\text{=}5+i,w+\frac{12i}{z}\text{=}-4+10i$ 。求 ${{\left| zw \right|}^{2}}$ 最小值 2022-04-17 19:26:58
19775 5c8f566d210b286d125ef38d 高中 解答题 自招竞赛 复数 $z\text{=}a+bi$ 满足 $\left| z \right|\text{=}5,b>0$，且使得复平面上两 $m\text{,}n$ 点 $\left( 1+2i \right){{z}^{3}}$ 和 ${{z}^{5}}$ 距离达到最大。令 ${{z}^{4}}\text{=}c+di$ 。求 $c+d$ 。 2022-04-17 19:35:53
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