复数 $z\text{=}a+bi$ 满足 $\left| z \right|\text{=}5,b>0$，且使得复平面上两 $m\text{,}n$ 点 $\left( 1+2i \right){{z}^{3}}$ 和 ${{z}^{5}}$ 距离达到最大。令 ${{z}^{4}}\text{=}c+di$ 。求 $c+d$ 。
【难度】
【出处】
2012年第30届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
125
【解析】
$\left|{{z}^{5}}-\left( 1+2i \right){{z}^{3}} \right|\text{=}\left| {{z}^{3}}\right|*\left| {{z}^{2}}\text{-}\left( 1+2i \right) \right|\text{=}{{\left| z\right|}^{3}}\left| {{z}^{2}}-\left( 1+2i \right) \right|\text{=}125\left|{{z}^{2}}-\left( 1+2i \right) \right|$，故我们只需使 $\left| {{z}^{2}}-\left( 1+2i \right) \right|$ 最大。则 ${{z}^{2}}$ 与 $1+2i$ 平行且反向，${{z}^{2}}\text{=}\sqrt{5}\left( -5-10i\right)$ 。 ${{z}^{4}}\text{=}-375+500i\Rightarrow c\text{=}-375\text{,}d\text{=}500\Rightarrow c+d\text{=}125$
答案
解析
备注
