若复数 $z$ 满足 $|z|=1$，求 $\left|z^3-z+2\right|^2$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2015年华中科技大学理科实验选拔试题
【标注】
【答案】
$\dfrac {8}{27}$
【解析】
因为$$\begin{split} \left|z^3-z+2\right|^2=&(z^3-z+2)(\bar{z}^3-\bar{z}+2)\\=&2(z^3+\bar z^3)-(z^2+\bar z^2)-2(z+\bar z)+6,\end{split} $$令 $x=z+\bar z\in[-2,2]$，则有$$z^2+\bar z^2=x^2-2,z^3+\bar z^3=x(x^2-3),$$代入上式整理得$$\left|z^3-z+2\right|^2=2x^3-x^2-8x+8,x\in[-2,2]$$令 $f(x)=2x^3-x^2-8x+8,x\in[-2,2]$，则$$f'(x)=6x^2-2x-8=2(x+1)(3x-4),$$所以 $f(x)$ 在 $(-2,-1)$ 上单调递增，在 $\left(-1,\dfrac 43\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac 43,2\right)$ 上单调递增，比较 $f(-1)=13$ 与 $f\left(\dfrac 43\right)=\dfrac 8{27}$ 知 $f(x)$ 有最小值，即所求的最小值为 $\dfrac 8{27}$．此时 $x=\dfrac 43$，对应 $z=\dfrac 23\pm\dfrac {\sqrt 5}3{\rm i}$．
答案
解析
备注
