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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
10998 5954e531d3b4f9000ad5e881 高中 填空题 高中习题 已知向量 $\left|\overrightarrow a\right|=\left|\overrightarrow b\right|=2$，$\left|\overrightarrow c\right|=1$，$\left(\overrightarrow c-\overrightarrow a\right)\cdot\left(\overrightarrow c-\overrightarrow b\right)=0$，则 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 22:26:23
10969 590bdfdc6cddca00092f7146 高中 填空题 自招竞赛 设 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 为平面上夹角为 $\theta\left(0<\theta\leqslant \dfrac{\pi}{2}\right)$ 的两个单位向量，$O$ 为平面上任意一点，当 $\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$ 时，定义 $(x,y)$ 为点 $P$ 的斜坐标．现有两个点 $A$，$B$ 的斜坐标分别为 $(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，则 $A$、$B$ 两点的距离为 ． 2022-04-16 22:08:23
10962 590bee0ad42ca7000a7e7dda 高中 填空题 高中习题 设 $A,B$ 为抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）上不同的两点，$O$ 为坐标原点，则 $\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|^2-\left|\overrightarrow{AB}\right|^2$ 的最小值为 ． 2022-04-16 22:04:23
10940 595d7f3f6e0c650008344297 高中 填空题 高考真题 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，$E,F$ 是 $AD$ 上的两个三等分点，$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CA}=4$，$\overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{CF}=-1$，则 $\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{CE}$ 的值是 ． 2022-04-16 22:53:22
10936 591276a8e020e7000878f823 高中 填空题 高考真题 已知向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$，$\big|\overrightarrow a\big|=1$，$\big|\overrightarrow b\big|=2$，若对任意单位向量 $\overrightarrow e$，均有 $\big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\big|+\big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|\leqslant \sqrt 6$，则 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 的最大值是 ． 2022-04-16 22:51:22
10917 590fdd6d857b4200092b075b 高中 填空题 自招竞赛 已知 $\triangle ABC$ 中，$\angle A = {90^ \circ }$，$BC = 4$，点 $A$ 是线段 $EF$ 的中点，$EF = 2$，若 $\overrightarrow {EF} $ 与 $\overrightarrow {BC} $ 的夹角为 ${60^ \circ }$，则 $\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {CF} {{ = }}$  ． 2022-04-16 22:40:22
10894 59101c0a857b42000aca3967 高中 填空题 自招竞赛 已知关于 $x$ 的方程 $\overrightarrow a {x^2} + \overrightarrow b x + \overrightarrow c= \overrightarrow 0 $，其中 $\overrightarrow a $、$\overrightarrow b $、$\overrightarrow c $ 是非零向量，且 $\overrightarrow a $、$\overrightarrow b $ 不共线，则该方程实数解的个数为 个． 2022-04-16 22:29:22
10802 5957b7d3d3b4f9000ad5e9db 高中 填空题 高中习题 如图，圆 $O$ 的半径为 $1$，$OA=\dfrac 12$．设 $B,C$ 是圆 $O$ 上任意两点，则 $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 22:40:21
10795 5957bc47d3b4f900095c66d0 高中 填空题 高中习题 在 $\triangle ABC$ 中，$AB=2$，$AC=3$，角 $A$ 的平分线 $AD$ 与 $AB$ 边上的中线 $CM$ 的交点为 $O$，若 $\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，则 $x+y=$  ． 2022-04-16 22:36:21
10717 59117bfee020e700094b09e7 高中 填空题 高考真题 在等腰梯形 $ABCD$ 中，已知 $AB \parallel DC$，$AB=2$，$BC=1$，$\angle ABC =60^\circ$．动点 $E$ 和 $F$ 分别在线段 $BC$ 和 $DC$ 上，且 $\overrightarrow {BE}=\lambda \overrightarrow {BC}$，$\overrightarrow {DF}=\dfrac {1}{9\lambda }\overrightarrow {DC}$，则 $\overrightarrow {AE}\cdot \overrightarrow {AF}$ 的最小值为 ． 2022-04-16 22:57:20
10634 59127363e020e70007fbec88 高中 填空题 高考真题 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，$E,F$ 是 $AD$ 上的两个三等分点，$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CA}=4$，$\overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{CF}=-1$，则 $\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{CE}$ 的值是 ． 2022-04-16 22:10:20
10612 59127a3ae020e700094b0bab 高中 填空题 高考真题 已知平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$，$\big|\overrightarrow a\big|=1$，$\big|\overrightarrow b\big|=2$，$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=1$．若 $\overrightarrow e$ 为平面单位向量，则 $\big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\big|+\big|\overrightarrow b \cdot \overrightarrow e\big|$ 的最大值是 ． 2022-04-16 22:59:19
10601 59127bd2e020e700094b0bd2 高中 填空题 自招竞赛 设向量 $\overrightarrow {OA} = \left( {3, 1} \right)$，点 $B$ 的坐标为 $\left( { - 1, 2} \right)$，若非零向量 $\overrightarrow {OC} $ 垂直于 $\overrightarrow {OB} $，且 $\overrightarrow {BC} $ 平行于 $\overrightarrow {OA} $，则向量 $\overrightarrow {OC} $ 的模为 ． 2022-04-16 22:52:19
10583 5912812de020e700094b0c0a 高中 填空题 自招竞赛 记等差数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$．设 $A$、$B$、$C$ 为三角形的三个顶点．点 $D$ 在直线 $BC$ 上．若 $\overrightarrow {AD} = {a_1}\overrightarrow {AB} + {a_{2010}}\overrightarrow {AC} $，则 ${S_{2010}} = $  ． 2022-04-16 22:43:19
10332 5975a9786b0745000a701ca7 高中 填空题 高中习题 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A=60^{\circ}$，$AB=3$，$AC=2$．若 $\overrightarrow {BD}=2\overrightarrow {DC}$，$\overrightarrow {AE}=\lambda \overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB}(\lambda \in \mathbb R)$，且 $\overrightarrow {AD}\cdot \overrightarrow {AE}=-4$，则 $\lambda$ 的值为  ． 2022-04-16 22:23:17
10031 597e95e8d05b90000c8057da 高中 填空题 高中习题 设 $H,P$ 是 $\triangle ABC$ 所在平面上的两点，用 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c,\overrightarrow h$ 分别表示向量 $\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC},\overrightarrow{PH}$．已知 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c,\overrightarrow h$ 均为非零向量，满足$$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+\overrightarrow c\cdot \overrightarrow h=\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c+\overrightarrow a\cdot \overrightarrow h=\overrightarrow c\cdot \overrightarrow a+\overrightarrow b\cdot \overrightarrow h,$$并且 $\left|\overrightarrow{AH}\right|=1$，$\left|\overrightarrow{BH}\right|=\sqrt 2$，$\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt 3$．点 $O$ 为 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心，则 $\triangle AOB,\triangle BOC,\triangle AOC$ 的面积之比是 ． 2022-04-16 22:34:14
9677 5970539ddbbeff0008bb4eed 高中 填空题 自招竞赛 已知向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 的夹角为 $\dfrac{\pi}{3}$，$\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|=5$，向量 $\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$ 的夹角为 $\dfrac{2\pi}{3}$，$\left|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}\right|=2\sqrt3$，则 $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}$ 的最大值为  ． 2022-04-16 22:20:11
9674 590bf3e3d42ca700077f648b 高中 填空题 高考真题 $\triangle ABC$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，已知向量 $\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$ 满足 $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow a+\overrightarrow b$，则下列结论中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
① $\overrightarrow a$ 为单位向量；
② $\overrightarrow b$ 为单位向量；
③ $\overrightarrow a\perp \overrightarrow b$；
④ $\overrightarrow b\parallel \overrightarrow{BC}$；
⑤ $\left(4\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\perp \overrightarrow{BC}$．		 2022-04-16 22:18:11
9579 59093e5b060a050008cff462 高中 填空题 高考真题 已知两个不相等的非零向量 $\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，两组向量 $\overrightarrow x_1 $，$\overrightarrow x_2$，$\overrightarrow x_3$，$\overrightarrow x_4$，$\overrightarrow x_5$ 和 $\overrightarrow y_1$，$\overrightarrow y_2$，$\overrightarrow y_3$，$\overrightarrow y_4$，$\overrightarrow y_5$ 均由 $2$ 个 $\overrightarrow a$ 和 $3$ 个 $\overrightarrow b$ 排列而成．记$$S = \overrightarrow x_1\cdot \overrightarrow y_1+ \overrightarrow x_2\cdot \overrightarrow y_2+ \overrightarrow x_3\cdot \overrightarrow y_3+ \overrightarrow x_4\cdot \overrightarrow y_4+ \overrightarrow x_5\cdot \overrightarrow y_5,$$${S_{\min }}$ 表示 $S$ 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
① $S$ 有 $5$ 个不同的值；
② 若 $\overrightarrow a \perp \overrightarrow b$，则 ${S_{\min }}$ 与 $\big|\overrightarrow a\big|$ 无关；
③ 若 $\overrightarrow a \parallel \overrightarrow b$，则 ${S_{\min }}$ 与 $\big|\overrightarrow b \big|$ 无关；
④ 若 $\big|\overrightarrow b \big| > 4\big|\overrightarrow a \big|$，则 ${S_{\min }}> 0$；
⑤ 若 $\big|\overrightarrow b \big| = 2\big|\overrightarrow a \big|$，${S_{\min }}= 8\big|\overrightarrow a \big|^2$，则 $\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow b$ 的夹角为 $\dfrac{\mathrm \pi} {4}$．		 2022-04-16 22:24:10
8651 59ba35d398483e0009c73182 高中 填空题 高中习题 已知向量 $\overrightarrow a\perp \overrightarrow b$，$\big|\overrightarrow a-\overrightarrow b\big|=2$，定义 $\overrightarrow c_{\lambda}=\lambda\overrightarrow a+(1-\lambda)\overrightarrow b$，其中 $0\leqslant \lambda\leqslant 1$，若 $\overrightarrow c_{\lambda}\cdot \overrightarrow c_{\frac 12}=\dfrac 12$，则 $\big|\overrightarrow c_{\lambda}\big|$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 22:56:01
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