如图，在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，$E,F$ 是 $AD$ 上的两个三等分点，$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CA}=4$，$\overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{CF}=-1$，则 $\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{CE}$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
2016年高考江苏卷
【标注】
【答案】
$\dfrac78$
【解析】
我们熟知极化恒等式 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\left[\dfrac 12\big(\overrightarrow a+\overrightarrow b\big)\right]^2-\left[\dfrac 12\big(\overrightarrow a-\overrightarrow b\big)\right]^2$，利用它可以将不好计算的数量积转化为好计算的线段长度．
本题中有$$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AD^2-BD^2,$$而$$\overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{CF}=\overrightarrow{FB}\cdot \overrightarrow{FC}=FD^2-BD^2=\dfrac 19AD^2-BD^2,$$于是不难计算得$$AD^2=\dfrac{45}8,BD^2=\dfrac{13}8,$$进而$$\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{EC}=ED^2-BD^2=\dfrac 49AD^2-BD^2=\dfrac 49\cdot\dfrac{45}8-\dfrac{13}{8}=\dfrac 78.$$
本题中有$$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AD^2-BD^2,$$而$$\overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{CF}=\overrightarrow{FB}\cdot \overrightarrow{FC}=FD^2-BD^2=\dfrac 19AD^2-BD^2,$$于是不难计算得$$AD^2=\dfrac{45}8,BD^2=\dfrac{13}8,$$进而$$\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{EC}=ED^2-BD^2=\dfrac 49AD^2-BD^2=\dfrac 49\cdot\dfrac{45}8-\dfrac{13}{8}=\dfrac 78.$$
题目
答案
解析
备注
