统一起点为 $O$，则\[\begin{split} \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}& = \left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right)\cdot \left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\right) \\ &=OC^2-\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB} \\ &=OC^2+\dfrac 12\left[\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\right)^2-OA^2-OB^2-OC^2\right] \\ &=\dfrac 12\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\right)^2-\dfrac 18,\end{split}\]考虑到 $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$ 可以表示长度从 $0$ 到 $2$ 的任意向量，因此 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$ 的长度取值范围是 $\left[0,\dfrac 52\right]$，所求的取值范围是 $\left[-\dfrac 18,3\right]$．