如图，在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，$E,F$ 是 $AD$ 上的两个三等分点，$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CA}=4$，$\overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{CF}=-1$，则 $\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{CE}$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
2016年高考江苏卷
【标注】
【答案】
$\dfrac78$
【解析】
设 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow {AC}=\overrightarrow b$，根据题意有$$\begin{cases} \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CA}=\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=4,\\ \overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{CF}=\left(\dfrac 13\overrightarrow b-\dfrac 23\overrightarrow a\right)\cdot \left(\dfrac 13\overrightarrow a-\dfrac 23\overrightarrow b\right)=-1,\\ \overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{CE}=\left(\dfrac 16\overrightarrow b-\dfrac 56\overrightarrow a\right)\cdot \left(\dfrac 16\overrightarrow a-\dfrac 56\overrightarrow b\right),\end{cases}$$整理得$$\begin{cases} \overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=4,\\ -2\big({\overrightarrow a}^2+{\overrightarrow b}^2\big)+5\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=-9,\\ \overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{CE}=\dfrac{-5\big({\overrightarrow a}^2+{\overrightarrow b}^2\big)+26\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b}{36},\end{cases}$$于是$$\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{CE}=\dfrac{\dfrac 52\cdot (-9)+\dfrac {27}2\cdot 4}{36}=\dfrac 78.$$
题目
答案
解析
备注
