情形一当 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e$ 与 $\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e$ 同号（认为 $0$ 与任何数同号）时，有$$\begin{split}\big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\big|+\big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|&=\big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e+\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|\\ &\leqslant \big|\overrightarrow a+\overrightarrow b\big|\cdot \big|\overrightarrow e\big|\\ &=\sqrt{\big|\overrightarrow a\big|^2+\big|\overrightarrow b\big|^2+2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b}\\ &=\sqrt 7,\end{split}$$取 $\overrightarrow e$ 为与 $\overrightarrow a+\overrightarrow b$ 同向的单位向量可以使得上述不等式取得等号．
情形二当 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e$ 与 $\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e$ 异号时，有$$\begin{split}\big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\big|+\big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|&=\big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e-\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|\\ &\leqslant \big|\overrightarrow a-\overrightarrow b\big|\cdot \big|\overrightarrow e\big|\\ &=\sqrt{\big|\overrightarrow a\big|^2+\big|\overrightarrow b\big|^2-2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b}\\ &=\sqrt 3.\end{split}$$综上所述，所求代数式的最大值为 $\sqrt 7$．