设 $H,P$ 是 $\triangle ABC$ 所在平面上的两点，用 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c,\overrightarrow h$ 分别表示向量 $\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC},\overrightarrow{PH}$．已知 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c,\overrightarrow h$ 均为非零向量，满足$$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+\overrightarrow c\cdot \overrightarrow h=\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c+\overrightarrow a\cdot \overrightarrow h=\overrightarrow c\cdot \overrightarrow a+\overrightarrow b\cdot \overrightarrow h,$$并且 $\left|\overrightarrow{AH}\right|=1$，$\left|\overrightarrow{BH}\right|=\sqrt 2$，$\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt 3$．点 $O$ 为 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心，则 $\triangle AOB,\triangle BOC,\triangle AOC$ 的面积之比是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1:\sqrt 3:2$
【解析】
如图．
根据题意，有 $\left(\overrightarrow a-\overrightarrow c\right)\cdot\left(\overrightarrow b-\overrightarrow h\right)=0$，即 $BH\perp AC$，不难推得 $H$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心．取 $BC$ 的中点 $M$．根据欧拉线的性质有 $AH=2OM$，于是不难得到$$A=\angle BOM=\dfrac{\pi}{3},$$进而由垂心的性质，有 $\angle BHF=A=\dfrac{\pi}{3}$，从而 $FH=\dfrac 12BH=\dfrac{\sqrt 2}2$，这样我们得到了$$A=\dfrac{\pi}{3},B=\dfrac{\pi}{4},C=\dfrac{5\pi}{12},$$进而 $\triangle AOB$，$\triangle BOC$，$\triangle AOC$ 面积之比为$$\sin 2C:\sin 2A:\sin 2B=1:\sqrt 3:2.$$
根据题意，有 $\left(\overrightarrow a-\overrightarrow c\right)\cdot\left(\overrightarrow b-\overrightarrow h\right)=0$，即 $BH\perp AC$，不难推得 $H$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心．取 $BC$ 的中点 $M$．根据欧拉线的性质有 $AH=2OM$，于是不难得到$$A=\angle BOM=\dfrac{\pi}{3},$$进而由垂心的性质，有 $\angle BHF=A=\dfrac{\pi}{3}$，从而 $FH=\dfrac 12BH=\dfrac{\sqrt 2}2$，这样我们得到了$$A=\dfrac{\pi}{3},B=\dfrac{\pi}{4},C=\dfrac{5\pi}{12},$$进而 $\triangle AOB$，$\triangle BOC$，$\triangle AOC$ 面积之比为$$\sin 2C:\sin 2A:\sin 2B=1:\sqrt 3:2.$$
题目
答案
解析
备注
