已知向量 $\left|\overrightarrow a\right|=\left|\overrightarrow b\right|=2$，$\left|\overrightarrow c\right|=1$，$\left(\overrightarrow c-\overrightarrow a\right)\cdot\left(\overrightarrow c-\overrightarrow b\right)=0$，则 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[-\sqrt 7,\sqrt 7\right]$
【解析】
将条件 $(\overrightarrow c-\overrightarrow a)\cdot(\overrightarrow c-\overrightarrow b)=0$ 整理得$$1-(\overrightarrow a+\overrightarrow b)\cdot \overrightarrow c+\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=0,$$所以$$(\overrightarrow a+\overrightarrow b)\cdot \overrightarrow c=1+\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b.$$设 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=x$，$\theta =\langle\overrightarrow a+\overrightarrow b,\overrightarrow c \rangle$，则$$\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|=\sqrt{(\overrightarrow a+\overrightarrow b)^2}=\sqrt{8+2x}.$$所以$$\sqrt{8+2x}\cdot 1 \cdot \cos \theta=1+x,$$得到$$-1\leqslant \dfrac{1+x}{\sqrt{8+2x}}\leqslant 1.$$即$$(1+x)^2\leqslant 8+2x,$$解得$$-\sqrt 7\leqslant x\leqslant \sqrt 7.$$
题目
答案
解析
备注
