由绝对值不等式，有$$\sqrt 6\geqslant \big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\big|+\big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|\geqslant \big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e+\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|=\big|(\overrightarrow a+\overrightarrow b)\cdot \overrightarrow e\big|,$$于是对任意单位向量 $\overrightarrow e$，均有 $\big|(\overrightarrow a+\overrightarrow b)\cdot \overrightarrow e\big|\leqslant \sqrt 6$，而$$\big|\overrightarrow a+\overrightarrow b\big|=\sqrt{\big|\overrightarrow a\big|^2+\big|\overrightarrow b\big|^2+2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b}=\sqrt{5+ 2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b},$$因此 $\big|(\overrightarrow a+\overrightarrow b)\cdot \overrightarrow e\big|$ 的最大值$$\sqrt{5+ 2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b}\leqslant \sqrt 6,$$从而$$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\leqslant \dfrac 12.$$下面证明 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 可以取得 $\dfrac 12$．
情形一若 $\big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\big|+\big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|=\big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e+\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|$，则显然符合题意；
情形一若 $\big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\big|+\big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|=\big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e-\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|$，此时$$\big|\overrightarrow a-\overrightarrow b\big|=\sqrt{\big|\overrightarrow a\big|^2+\big|\overrightarrow b\big|^2-2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b}=2,$$于是$$\big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\big|+\big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|=\big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e-\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|\leqslant 2<\sqrt 6,$$符合题意．
综上所述，$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 的最大值为 $\dfrac 12$．