在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A=60^{\circ}$，$AB=3$，$AC=2$．若 $\overrightarrow {BD}=2\overrightarrow {DC}$，$\overrightarrow {AE}=\lambda \overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB}(\lambda \in \mathbb R)$，且 $\overrightarrow {AD}\cdot \overrightarrow {AE}=-4$，则 $\lambda$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac3{11}$
【解析】
根据共线向量的表达，有\[\begin{split}
\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AE}&=\left(\dfrac 13\overrightarrow{AB}+\dfrac 23\overrightarrow{AC}\right)\cdot \left(\lambda\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\\
&=-\dfrac 13\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AB}+\dfrac 23\lambda \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AC}+\left(\dfrac 13\lambda-\dfrac 23\right)\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\\
&=-\frac 13\cdot 9+\dfrac 23\cdot 4\lambda +\left(\dfrac 13\lambda -\dfrac 23\right)\cdot 3\cdot 2\cdot \cos 60^\circ\\
&=\dfrac{11}3\lambda-5 =-4,\end{split}\]解得 $\lambda=\dfrac 3{11}$．
\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AE}&=\left(\dfrac 13\overrightarrow{AB}+\dfrac 23\overrightarrow{AC}\right)\cdot \left(\lambda\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\\
&=-\dfrac 13\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AB}+\dfrac 23\lambda \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AC}+\left(\dfrac 13\lambda-\dfrac 23\right)\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\\
&=-\frac 13\cdot 9+\dfrac 23\cdot 4\lambda +\left(\dfrac 13\lambda -\dfrac 23\right)\cdot 3\cdot 2\cdot \cos 60^\circ\\
&=\dfrac{11}3\lambda-5 =-4,\end{split}\]解得 $\lambda=\dfrac 3{11}$．
题目
答案
解析
备注
