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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20741 5c75fa00210b284290fc24ba 高中 解答题 自招竞赛 在等腰三角形 $ABC$ 中，点 $A$ 是直角坐标系的原点，点 $B$ 的坐标为 $\left( 20 ,0 \right)$，点 $C$ 在第一象限，且满足 $AC=BC$ 及 $\angle BAC={{75}^{\circ }}$ 。将这个三角形以 $A$ 为旋转中心逆时针旋转，直到 $C$ 点落到 $y$ 轴正半轴上为止。若此时的三角形与原三角形的公共面积为 $p\sqrt{2}+q\sqrt{3}+r\sqrt{6}+s$，其中 $p$，$q$，$r$，$s$ 是整数，求 $\frac{p-q+r-s}{2}$ 的值。 2022-04-17 20:36:02
20735 5c75ffea210b28428f14cd3f 高中 解答题 自招竞赛 工厂的工人要生产元件和器件，对于同一种产品，不同的工人生产所需时间是相同的且为常量，但对于不同产品，工人所需的时间也不同。 $100$ 名工人在一小时内可生产 $300$ 个元件和 $200$ 器件。 $60$ 名工人在两小时内可生产 $240$ 个元件和 $300$ 个器件。设 $50$ 名工人在三小时可生产 $150$ 元件和 $m$ 个器件，试求 $m$ 。 2022-04-17 20:32:02
20729 5c76002d210b28428f14cd5a 高中 解答题 自招竞赛 数列 ${{x}_{0}}$，${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$，…为递增的等比数列，且每一项都是 $3$ 的整数次幂，已知
$\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{7}{\log \left( {{x}_{n}} \right)}=308$，$\displaystyle 56\leqslant {{\log }_{3}}\left( \sum\limits_{n=0}^{7}{{{x}_{n}}} \right)\leqslant 57$，
试求 ${{\log }_{3}}\left( {{x}_{14}} \right)$ 。		 2022-04-17 20:29:02
20728 5c760039210b28428f14cd65 高中 解答题 自招竞赛 设 $f\left( x \right)$ 为实系数多项式 $f\left( 0 \right)=1 ,f\left( 2 \right)+f\left( 3 \right)=125$，且对于任意 $x$，都有 $f\left( x \right)f\left( 2{{x}^{2}} \right)=f\left( 2{{x}^{3}}+x \right)$ 。试求 $f\left( 5 \right)$ 。 2022-04-17 20:29:02
20724 5c761a5d210b28428f14cd85 高中 解答题 自招竞赛 艾德和苏骑自行车的速度相等且恒定，他们慢跑的速度也是相等且恒定，他们游泳的速度也是相等且恒定，艾德在骑车2小时、慢跑3小时、游泳4小时后共行74千米，苏在慢跑2小时、游泳3小时、骑车4小时后共行91千米．他们骑车、慢跑、游泳的速度都是以每小时整千米数行进．求艾德骑车、慢跑、游泳的速度的平方和． 2022-04-17 20:26:02
20719 5c761a91210b284290fc250d 高中 解答题 自招竞赛 求出满足条件 $\arctan \frac{1}{3}+\arctan \frac{1}{4}+\arctan \frac{1}{5}+\arctan \frac{1}{n}=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}$ 的正整数 $n$． 2022-04-17 20:23:02
20710 5c761fda210b284290fc2533 高中 解答题 自招竞赛 鲁道夫匀速骑车，每骑车一英里休息5分钟，詹妮弗匀速骑车，每骑车两英里休息5分钟，鲁道夫和詹尼弗同时同地出发且同时到达50英里远的地方，已知詹妮弗骑车的速度是鲁道夫的 $\frac{3}{4}$，问每人在路上所用的时间是多少分钟？ 2022-04-17 20:17:02
20705 5c76203c210b28428f14cdca 高中 解答题 自招竞赛 设 $r$，$s$，$t$ 是方程 $8{{x}^{3}}+1001x+2008=0$ 的三个根，求 ${{\left( r+s \right)}^{3}}+{{\left( s+t \right)}^{3}}+{{\left( t+r \right)}^{3}}$ 的值． 2022-04-17 20:15:02
20704 5c76204e210b284290fc2545 高中 解答题 自招竞赛 一个质点位于坐标平面上点 $\left( 5 ,0 \right)$ 处，定义质点的一次移动是先绕原点逆时针旋转 $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}$ 弧度，再沿 $X$ 轴正方向平移10个单位．若此质点做150次这样的移动后位于点 $\left( p, q \right)$ 处，求不关于 $\left| p \right|+\left| q \right|$ 的最大正整数． 2022-04-17 20:14:02
20700 5c7620a6210b28428f14cde6 高中 解答题 自招竞赛 设 $a$，$b$ 为正实数，且 $a\geqslant b$，设 $p$ 是 $\frac{a}{b}$ 的最大值，使得方程组
${{a}^{2}}+{{y}^{2}}={{b}^{2}}+{{x}^{2}}={{\left( a-x \right)}^{2}}+{{\left( b-y \right)}^{2}}$
有一解 $\left( x, y \right)$ 满足 $0\leqslant x\leqslant a$，$0\leqslant y\leqslant b$．${{p}^{2}}$ 可以写成分数 $\frac{m}{n}$ 的形式，其中 $m$，$n$ 为互素的正整数，求 $m+n$ 的值．		 2022-04-17 20:12:02
20687 5c774264210b284290fc2586 高中 解答题 自招竞赛 设正实数 $a$，$b$，$c$ 满足 ${{a}^{{{\log }_{3}}7}}=27$，${{b}^{{{\log }_{7}}11}}=49$，${{c}^{{{\log }_{11}}25}}=\sqrt{11}$．求 ${{a}^{{{\left( {{\log }_{3}}7 \right)}^{2}}}}\text{+}{{b}^{{{\left( {{\log }_{7}}11 \right)}^{2}}}}+{{c}^{{{\left( {{\log }_{11}}25 \right)}^{2}}}}$． 2022-04-17 20:04:02
20681 5c7742a4210b28428f14ce61 高中 解答题 自招竞赛 对某一特定的正整数组 $\left( m, n \right)$（其中 $m\geqslant n$），恰有50个不同的正整数 $k$ 使得 $\left| \log m-\log k \right|\log n$ 成立．求乘积 $mn$ 的所有可能值的和． 2022-04-17 20:01:02
20680 5c7742b0210b28428f14ce6b 高中 解答题 自招竞赛 设 $A$、$B$ 是半径为2的半圆弧的两端点．该半圆被六个点 ${{C}_{1}}$，${{C}_{2}}$，…，${{C}_{6}}$ 等分成七段，连接所有的弦 $A{{C}_{i}}$ 和 $B{{C}_{i}}$．设 $n$ 是这12条弦长度的乘积，求 $n$ 除以1000的余数． 2022-04-17 20:01:02
20679 5c7742b8210b28428f14ce71 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 满足 ${{a}_{0}}=1$ 且 ${{a}_{n\text{+}1}}\text{=}\frac{8}{5}{{a}_{n}}+\frac{6}{5}\sqrt{{{4}^{n}}-a_{n}^{2}}$ 对所有的 $n\geqslant 0$ 均成立．求小于等于 ${{a}_{10}}$ 的最大整数． 2022-04-17 20:00:02
20673 5c774c93210b28428f14cea5 高中 解答题 自招竞赛 实系数二次多项式 $P\left( x \right)$ 满足对所有的实数 $x$，都有
${{x}^{2}}-2x+2\leqslant P\left( x \right)\leqslant 2{{x}^{2}}-4x+3$
已知 $P\left( 11 \right)=181$ 。求 $P\left( 16 \right)$ 的值。		 2022-04-17 20:58:01
20670 5c774cac210b28428f14ceb1 高中 解答题 自招竞赛 设 $\left( a ,b ,c \right)$ 是方程组 $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{3}}-xyz=2 \\
{{y}^{3}}-xyz=6 \\
{{z}^{3}}-xyz=20 \\
\end{array} \right.$ 的一组实数解。 ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$ 的最大值可以表示为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$、$n$ 是互素的正整数。求 $m+n$ 的值。		 2022-04-17 20:55:01
20666 5c774cd5210b284290fc25bd 高中 解答题 自招竞赛 对每个正整数 $n$，设 $\displaystyle f\left( n \right)=\sum\limits_{k=1}^{100}{\left[ {{\log }_{10}}\left( kn \right) \right]}$ 。求 $n$ 的最大值，使得 $f\left( n \right)\leqslant 300$（$\left[ x \right]$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数）。 2022-04-17 20:53:01
20660 5c776991210b284290fc25dc 高中 解答题 自招竞赛 正整数 $x$，$y$ 和 $z$ 满足 $xyz={{10}^{81}}$，且
$\left( {{\log }_{10}}x \right)\left( {{\log }_{10}}yz \right)+\left( {{\log }_{10}}y \right)\left( {{\log }_{10}}z \right)=468$ 。
求 $\sqrt{{{\left( {{\log }_{10}}x \right)}^{2}}+{{\left( {{\log }_{10}}y \right)}^{2}}+{{\left( {{\log }_{10}}z \right)}^{2}}}$ 的值。		 2022-04-17 20:50:01
20658 5c7769a3210b284290fc25e7 高中 解答题 自招竞赛 设 $N$ 为具有如下性质的有序对 $\left( A ,B \right)$ 的个数，其中 $A$，$B$ 为非空集合：
（1）$A\bigcup B=\left\{ 1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11 ,12 \right\}$；
（2）$A\bigcap B=\varnothing $
（3）$A$ 的元素的个数不是 $A$ 的元素；
（4）$B$ 的元素的个数不是 $B$ 的元素。
求 $N$ 的值。		 2022-04-17 20:49:01
20656 5c7769af210b284290fc25ee 高中 解答题 自招竞赛 求出满足如下条件的整系数二次多项式 $f\left( x \right)$ 的个数；$f\left( x \right)$ 的所有根均为整数且 $f\left( 0 \right)=2010$ 。 2022-04-17 20:48:01
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