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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27440 59098e1a38b6b400091effc5 高中 解答题 高中习题 设集合 $A$ 是整数集 $\mathbb Z$ 的子集，其中有正有负，且 $a,b\in A$（$a,b$ 可以相等），则 $a+b\in A$．求证：若 $a,b\in A$，则 $a-b\in A$． 2022-04-17 21:15:04
27366 590ac4da6cddca000a0819bc 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 是 $4$ 个有理数，使得\[\left\{a_ia_j\left|1\leqslant i< j\leqslant 4\right.\right\}=\left\{-24,-2,-\dfrac 32,-\dfrac 18,1,3\right\},\]求 $a_1+a_2+a_3+a_4$ 的值． 2022-04-17 21:32:03
27296 590bd31e6cddca0008610fbe 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是 $13$ 项的等差数列，集合\[A=\left\{a_i+a_j+a_k\left|\right.1\leqslant i < j < k \leqslant 13,i,j,k\in \mathbb {N}^*\right\},\]则 $0,\dfrac 72,\dfrac {16}3$ 能否同时在集合 $A$ 中？ 2022-04-17 21:54:02
27282 590bd8806cddca0008610fec 高中 解答题 自招竞赛 已知正整数 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 满足：任四个数之和构成集合 $\left\{ {44,45,46,47} \right\}$，求 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 的值． 2022-04-17 21:46:02
26971 5912674fe020e7000a7989d1 高中 解答题 自招竞赛 对于集合 $M\subseteq \mathbb{R}^2$，当且仅当 $\forall P_0\in M,\exists r>0$，使得 $\{P\in\mathbb{R}^2\mid |PP_0|<r\}\subseteq M$ 时称 $M$ 为开集．判断集合 $\{(x,y) \mid 4x+2y-5>0\}$ 与 $\{(x,y)\mid x\geqslant0,y>0\}$ 是否为开集，并证明你的结论． 2022-04-17 20:55:59
26878 59128bbee020e7000878f922 高中 解答题 自招竞赛 已知集合 $A = \left\{ \left( {x, y} \right)\left|{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} \leqslant \dfrac{4}{5} \right.\right\}$，$B = \left\{ {\left( {x, y} \right)\big|\left| {x - 1} \right| + 2\left| {y - 2} \right| \leqslant a} \right\}$，且满足 $A \subseteq B$，求实数 $a$ 的范围． 2022-04-17 20:04:59
26437 597ea060d05b9000091651cb 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是 $13$ 项的等差数列，集合$$A=\left\{a_i+a_j+a_k\left|\right.1\leqslant i < j < k \leqslant 13,i,j,k\in \bf N^*\right\},$$问 $0,\dfrac 72,\dfrac {16}3$ 能否同时在集合 $A$ 中？并证明你的结论． 2022-04-17 20:57:54
26353 592e1a37eab1df0007bb8c8f 高中 解答题 高考真题 对于集合 $M$，定义函数 $f_M(x)=\begin{cases}-1,&x\in M\\ 1,&x\not\in M\end{cases}$，对于两个集合 $M,N$，定义集合 $M\Delta N=\{x\mid f_M(x)\cdot f_N(x)=-1\}$．已知 $A=\{2,4,6,8,10\}$，$B=\{1,2,4,8,16\}$． 2022-04-17 20:10:54
26348 59656a3caf3c00000736610b 高中 解答题 高考真题 对于函数 $f(x)$，若 $f(x_0)=x_0$，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的“不动点”；若 $f(f(x_0))=x_0$，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的“稳定点”．函数 $f(x)$ 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 $A$ 和 $B$，即 $A=\{x\mid f(x)=x\}$，$B=\{x\mid f(f(x))=x\}$． 2022-04-17 20:08:54
26277 596427facbc472000babe84e 高中 解答题 自招竞赛 设集合 $A=\{x\mid x^2+3x+2 \leqslant 0\}$，$B=\{x\mid x^2+ax+b \leqslant 0\}$． 2022-04-17 20:28:53
26276 59631d4a3cafba0009670ce6 高中 解答题 自招竞赛 若函数 $f(x)=4\sin x \cdot \sin^2\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac x2\right)+\cos{2x}$． 2022-04-17 20:28:53
26236 596339c13cafba000ac43f93 高中 解答题 自招竞赛 函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，已知 $x>0$ 时，$f(x)>0$，并且对任意 $m,n \in \mathbb R$，都有 $f(m+n)=f(m)+f(n)$． 2022-04-17 20:07:53
25976 597e9d7dd05b90000c80582b 高中 解答题 高中习题 已知集合 $A = \left\{ {1 , 2 , 3 , \cdots , 2n + 1} \right\}$（$n \in {\mathbb N^ * }$），集合 $B \subseteq A$，且满足 $\forall x , y \in B$，$x + y \notin B$，则求集合 $B$ 中的元素个数的最大值． 2022-04-17 20:51:50
25892 597556cad3e6ac000757ebb4 高中 解答题 自招竞赛 设 $k,n$ 为给定的整数，$n>k\geqslant 2$．对任意 $n$ 元的数集 $P$，作 $P$ 的所有 $k$ 元子集的元素和，记这些和组成的集合为 $Q$，集合 $Q$ 中元素个数是 ${\rm Card}(Q)$，求 ${\rm Card}(Q)$ 的最大值． 2022-04-17 20:05:50
25763 597e88bdd05b90000b5e3088 高中 解答题 高中习题 求正整数集合 $S$（元素个数不少于 $2$），使 $S$ 中的元素之和等于元素之积． 2022-04-17 20:54:48
25712 5970647cdbbeff0008bb4f25 高中 解答题 高中习题 集合 $M=\left \{1,2, \cdots ,99 \right\}$，集合 $A$ 是集合 $M$ 的子集，$A$ 中的元素个数为偶数，且 $A$ 中元素之和为奇数，求符合要求的集合 $A$ 的个数． 2022-04-17 20:26:48
25236 592e16e8eab1df0007bb8c86 高中 解答题 高考真题 已知集合 $M=\{1,2,3,\cdots,n\}(n\in\mathbb N^*)$，若集合 $A=\{a_1,a_2,\cdots,a_m\}\subseteq M(m\in\mathbb N^*)$，且对任意的 $b\in M$，存在 $a_i,a_j\in A(1\leqslant i\leqslant j\leqslant m)$，使得 $b=\lambda_1a_i+\lambda_2a_j$，其中 $\lambda_1,\lambda_2\in\{-1,0,1\}$，则称集合 $A$ 为集合 $M$ 的一个 $m$ 元基底． 2022-04-17 20:59:43
25235 592e176beab1df000825727d 高中 解答题 高考真题 若集合 $A$ 具有以下性质：
① $1\in A$；
② 若 $x,y\in A$，则 $x-y\in A$；
③ 若 $x\ne0$，$x\in A$，则 $\dfrac1x\in A$
则称集合 $A$ 为好集．		 2022-04-17 20:58:43
25223 592e3193eab1df0007bb8cd4 高中 解答题 高中习题 设集合 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 是集合 $\{1,2,\cdots,n\}$ 的 $n$ 个不同子集，对于任意 $k,l\in \mathbb N^*$ 且 $k,l\leqslant n$，规定：
① 集合 $A_k$ 中至少含有三个元素，且 $k\not\in A_k$；
② $k\in A_l$ 的充要条件是 $l\not\in A_k(k\ne l)$．
作 $n$ 行 $n$ 列数表，定义数表中位于第 $k$ 行第 $l$ 列的数为 $a_{kl}=\begin{cases}0,&k\not\in A_l\\-1,&k\in A_l\end{cases}$．		 2022-04-17 20:51:43
24560 59141e1e1edfe20007c50989 高中 解答题 高中习题 集合 $S\subseteq \mathbb{Q}$，且满足下列条件：
① $0\notin S$；
② 若 $s_1\in S$，$s_2\in S$，则 $\dfrac{s_1}{s_2}\in S$；
③ 存在一个非零有理数 $t$，$t\notin S$，对任意一个不在集合 $S$ 中的非零有理数 $p$，都有 $s\in S$，使得 $p=st$．
求证：若 $x\in S$，则一定存在 $y,z\in S$，使得 $x=y+z$．		 2022-04-17 20:52:37
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