题目 设集合 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 是集合 $\{1,2,\cdots,n\}$ 的 $n$ 个不同子集，对于任意 $k,l\in \mathbb N^*$ 且 $k,l\leqslant n$，规定：<br/>① 集合 $A_k$ 中至少含有三个元素，且 $k\not\in A_k$；<br/>② $k\in A_l$ 的充要条件是 $l\not\in A_k(k\ne l)$．<br/>作 $n$ 行 $n$ 列数表，定义数表中位于第 $k$ 行第 $l$ 列的数为 $a_{kl}=\begin{cases}0,&k\not\in A_l\\-1,&k\in A_l\end{cases}$． 问题1 判断该数表中每一列至少有多少个 $-1$； 答案1 $3$ 个 解析1 由规定，该数表中每一列至少有 $3$ 个 $-1$． 备注1 问题2 请构造出 $\{1,2,\cdots,7\}$ 的 $7$ 个不同子集 $A_1,A_2,\cdots,A_7$，使其同时满足 ① 与 ②（只要写出一种答案即可）； 答案2 略 解析2 由规定，该数表的对角线 $a_{11}=a_{22}=\cdots=0$，并且若 $a_{ij}=0,i\ne j$，则 $a_{ji}=-1$，这就是题意规定的直观解释．经过尝试，容易得到填表方式：$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &1&2&3&4&5&6&7\\ \hline 1&0&&&&&&\\ \hline 2&&0&&&&&\\ \hline 3&&&0&&&&\\ \hline 4&&&&0&&&\\ \hline 5&&&&&0&&\\ \hline 6&&&&&&0&\\ \hline 7&&&&&&&0\\ \hline\end{array}\qquad\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &1&2&3&4&5&6&7\\ \hline 1&0&0&0&0&-1&-1&-1\\ \hline 2&-1&0&0&0&0&-1&-1\\ \hline 3&-1&-1&0&0&0&0&-1\\ \hline 4&-1&-1&-1&0&0&0&0\\ \hline 5&0&-1&-1&-1&0&0&0\\ \hline 6&0&0&-1&-1&-1&0&0\\ \hline 7&0&0&0&-1&-1&-1&0\\ \hline\end{array}$$ 备注2 问题3 证明：$n\geqslant7$． 答案3 略 解析3 由 $(1)$ 知，数表中的 $-1$ 至少有 $3n$ 个，由 $(2)$ 知数表中的 $-1$ 至多有 $\dfrac{n^2-n}{2}$ 个，<br/>从而$$\dfrac{n^2-n}{2}\geqslant 3n,$$即 $n\geqslant7$．原命题得证． 备注3