若函数 $f(x)=4\sin x \cdot \sin^2\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac x2\right)+\cos{2x}$．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
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设 $\omega>0$，且为常数，若函数 $y=f(\omega x)$ 在区间 $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{2\pi}{3}\right]$ 上是增函数，求 $\omega$ 的取值范围；标注答案$\left(0,\dfrac 34\right]$解析对函数进行化简\[\begin{split}f(x)&=4\sin x \cdot \dfrac{1-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}{2}+\cos{2x}\\&=2\sin x(1+\sin x)+\cos {2x}\\&=2\sin x+1.\end{split}\]因 $f(\omega x)=2\sin {\omega x}+1$ 在 $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{2\pi}{3}\right]$ 上是增函数，所以$$\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{2\pi}{3}\right]\subset \left[-\dfrac{\pi}{2\omega},\dfrac{\pi}{2\omega}\right],$$则$$\dfrac{2\pi}{3}\leqslant \dfrac{\pi}{2\omega},$$解得 $\omega$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 34\right]$．
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集合 $A=\left\{x\mid \dfrac{\pi}{6}\leqslant x\leqslant \dfrac{2\pi}{3}\right\}$，$B=\{x||f(x)-m|<2\}$，若 $A\cup B=B$，求实数 $m$ 的取值范围．标注答案$(1,4)$解析由 $|f(x)-m|<2$ 有$$f(x)-2<m<f(x)+2.$$因为 $A\cup B=B$，所以 $A\subset B$，即当 $\dfrac{\pi}{6}\leqslant x\leqslant \dfrac{2\pi}{3}$ 时，不等式$$f(x)-2<m<f(x)+2$$恒成立，所以$$[f(x)-2]_{\max}<m<[f(x)+2]_{\min}.$$因\[\begin{split}f(x)_{\min}=f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=2,\\f(x)_{\max}=f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=3,\end{split}\]故 $m$ 的取值范围是 $(1,4)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
