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集合 $S\subseteq \mathbb{Q}$，且满足下列条件：
① $0\notin S$；
② 若 $s_1\in S$，$s_2\in S$，则 $\dfrac{s_1}{s_2}\in S$；
③ 存在一个非零有理数 $t$，$t\notin S$，对任意一个不在集合 $S$ 中的非零有理数 $p$，都有 $s\in S$，使得 $p=st$．
求证：若 $x\in S$，则一定存在 $y,z\in S$，使得 $x=y+z$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    组合数学
    >
    组合证明
  • 知识点
    >
    函数
    >
    集合与映射
【答案】
略
【解析】
首先，我们显然有 $1\in S$；若 $s_0\in S$，则 $\dfrac{1}{s_0}\in S$；若 $p_1\notin S,p_2\notin S$，则 $p_1p_2\in S$．
设 $A,B$ 为 $\mathbb{Q}$ 的非空子集，记\[
A+B=\left\{a+b\left| a\in A,b\in B\right.\right\}, A-B=\left\{a-b\left| a\in A,b\in B\right.\right\}.\]情形一若 $(S+S)\cap S\ne \varnothing$，则存在 $a,b,c\in S$，使得 $a+b=c$，从而\[
\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=1.\]因为 $a,b,c\in S$，所以 $\dfrac{a}{c},\dfrac{b}{c}\in S$．此时，任取 $x\in S$，令\[
y=\dfrac{a}{c}\cdot x\in S, z=\dfrac{b}{c}\cdot x\in S,
\]有 $x=y+z$．
情形二若 $(S-S)\cap S\ne \varnothing$，则存在 $a,b,c\in S$，使得 $a-b=c$，从而\[
\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}=1.\]因为 $a,b,c\in S$，所以 $\dfrac{b}{a},\dfrac{c}{a}\in S$．此时，任取 $x\in S$，令\[
y=\dfrac{b}{a}\cdot x\in S, z=\dfrac{c}{a}\cdot x\in S,
\]有 $x=y+z$．
情形三若 $(S+S)\cap S=\varnothing$ 且 $(S-S)\cap S=\varnothing$，选取 $a,b\in S$，使得 $a+b\ne 0$ 且 $a-b \ne 0$（由于 $S$ 中有无穷多个元素，这样的 $a,b$ 一定存在），则\[
a+b\notin S, a-b\notin S,\]故存在 $s_1,s_2\in S$，使得\[
(a+b)(a-b)=s_1t\cdot s_2t=t^2\cdot s_1\cdot s_2\in S.\]令 $a^2-b^2=c\in S$，则\[
\dfrac{b^2}{a^2}+\dfrac{c}{a^2}=1,
\]其中 $\dfrac{b^2}{a^2},\dfrac{c}{a^2}\in S$．此时，任取 $x\in S$，令\[
y=\dfrac{b^2}{a^2}\cdot x\in S, z=\dfrac{c}{a^2}\cdot x\in S,
\]有 $x=y+z$．
证毕．
答案 解析 备注
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