已知集合 $A = \left\{ {1 , 2 , 3 , \cdots , 2n + 1} \right\}$（$n \in {\mathbb N^ * }$），集合 $B \subseteq A$，且满足 $\forall x , y \in B$，$x + y \notin B$，则求集合 $B$ 中的元素个数的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$n + 1$
【解析】
先证明 $n + 1$ 个是可能的，取 $B = \left\{ {n + 1 , n + 2 , \cdots , 2n + 1} \right\}$ 或 $\left\{ {1 , 3 , \cdots , 2n + 1} \right\}$ 均可．
接下来证明多于 $n + 1$ 个是不可能的．
我们只需要证明集合 ${A_n} = \left\{ {1 , 2 , 3 , \cdots , 2n + 1} \right\}$ 的任意一个 $m$ 元子集 $B$（$m \geqslant n + 2$）中必然存在两个元素，它们的和仍然在该子集中，可以利用数学归纳法对 $n$ 进行归纳完成．
当 $n = 1$ 时，命题显然成立；
若命题对 $n$ 成立，则
在 $n + 1$ 时，全集为$${A_{n + 1}} = \left\{ {1 , 2 , 3 , \cdots , 2n + 1 , 2n + 2 , 2n + 3} \right\}.$$情形一 ，如果 $2n + 3 \notin B$，则 $B$ 中必然包含 ${A_n}$ 中至少 $n + 2$ 个元素，根据归纳假设，命题成立；
情形二 ，如果 $2n + 3 \in B$，则 $B$ 中还包含集合 $\left\{ {1 , 2 , 3 , \cdots , 2n + 2} \right\}$ 中的 $n + 2$ 个数．将 ${A_{n + 1}}$ 中除 $2n + 3$ 外的其余 $2n + 2$ 个数分为 $n + 1$ 组：$$\left( {1 , 2n + 2} \right),\left( {2 , 2n + 1} \right),\cdots ,\left( {n + 1 , n + 2} \right),$$每组中的两个数之和均为 $2n + 3$．根据抽屉原理，$B$ 中必然存在两个数，它们的和为 $2n + 3$，命题成立．
综合两种情形，命题对 $n + 1$ 亦成立．
综上，这就证明了集合 $B$ 中的元素个数的最大值为 $n + 1$．
接下来证明多于 $n + 1$ 个是不可能的．
我们只需要证明集合 ${A_n} = \left\{ {1 , 2 , 3 , \cdots , 2n + 1} \right\}$ 的任意一个 $m$ 元子集 $B$（$m \geqslant n + 2$）中必然存在两个元素，它们的和仍然在该子集中，可以利用数学归纳法对 $n$ 进行归纳完成．
当 $n = 1$ 时，命题显然成立；
若命题对 $n$ 成立，则
在 $n + 1$ 时，全集为$${A_{n + 1}} = \left\{ {1 , 2 , 3 , \cdots , 2n + 1 , 2n + 2 , 2n + 3} \right\}.$$
综合两种情形，命题对 $n + 1$ 亦成立．
综上，这就证明了集合 $B$ 中的元素个数的最大值为 $n + 1$．
答案
解析
备注
