已知集合 $M=\{1,2,3,\cdots,n\}(n\in\mathbb N^*)$，若集合 $A=\{a_1,a_2,\cdots,a_m\}\subseteq M(m\in\mathbb N^*)$，且对任意的 $b\in M$，存在 $a_i,a_j\in A(1\leqslant i\leqslant j\leqslant m)$，使得 $b=\lambda_1a_i+\lambda_2a_j$，其中 $\lambda_1,\lambda_2\in\{-1,0,1\}$，则称集合 $A$ 为集合 $M$ 的一个 $m$ 元基底．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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分别判断下列集合 $A$ 是否为集合 $M$ 的一个二元基底，并说明理由；
① $A=\{1,5\},M=\{1,2,3,4,5\}$；② $A=\{2,3\},M=\{1,2,3,4,5,6\}$；标注答案① 不是；② 是解析① 不是，$3\in M$，但无法由 $A$ 得到；② 是． -
若集合 $A$ 是集合 $M$ 的一个 $m$ 元基底，证明：$m(m+1)\geqslant n$；标注答案略解析若集合 $A$ 是集合 $M$ 的一个 $m$ 元基底，则其至多能够表示的正整数为$$2m+2\mathrm{C}_m^{2}=2m+m(m-1)=m(m+1),$$所以 $m(m+1)\geqslant n$．
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若集合 $A$ 为集合 $M=\{1,2,3,\cdots,19\}$ 的一个 $m$ 元基底，求出 $m$ 的最小可能值，并写出当 $m$ 取最小值时 $M$ 的一个基底 $A$．标注答案$m$ 的最小可能值为 $5$，$A=\{1,3,5,9,16\}$解析
情形一 $A=\{1,3,5,9,16\}$ 是 $M$ 的一个 $5$ 元基底．情形二 由 $(2)$，$$m(m+1)\geqslant19,$$所以 $m\geqslant4$，下面证明不存在 $4$ 元基底．
用反证法．
设 $A=\{a,b,c,d\}(a<b<c<d)$ 是 $M$ 的一个 $4$ 元基底，则由 $(2)$，$A$ 中的 $4$ 个元素至多表示出 $4$ 组共 $20$ 个数；
第 $1$ 组：$a,b,c,d$；
第 $2$ 组：$2a,2b,2c,2d$；
第 $3$ 组：$a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d$；
第 $4$ 组：$b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c$．
注意到第 $2$ 组数都是偶数，第 $3$ 组和第 $4$ 组数对应奇偶性相同，于是设 $a,b,c,d$ 中有 $x$ 个偶数，则
① $x=4$ 时，第 $3$ 组中有 $6$ 个偶数，$4$ 个组共有 $20$ 个偶数；
② $x=3$ 时，第 $3$ 组中有 $3$ 个偶数，$4$ 个组共有 $13$ 个偶数；
③ $x=2$ 时，第 $3$ 组中有 $2$ 个偶数，$4$ 个组共有 $10$ 个偶数；
④ $x=1$ 时，第 $3$ 组中有 $3$ 个偶数，$4$ 个组共有 $13$ 个偶数；
⑤ $x=0$ 时，第 $3$ 组中有 $6$ 个偶数，$4$ 个组共有 $16$ 个偶数；
而 $M$ 中只有 $9$ 个偶数，于是只有情形 ③ 可能．
若 $4$ 个组中的 $20$ 个数中存在两个相同的 $M$ 中的偶数．因为 $2d$ 是最大数且为偶数，所以 $2d\leqslant18$，即 $d\leqslant 9$．
因此第二大的数 $c+d=19$，但 $c+d\leqslant d-1+d\leqslant17$，矛盾．
若 $4$ 个组中有一个偶数比 $18$ 大，则必有 $2d\geqslant 20$，即 $d\geqslant 10$．
第二大的数 $c+d=19$，所以 $c\geqslant 9$．
又有 $2c=18$ 或 $d+b=18$，所以 $c=9$，$d=10$ 或 $c=b+1$，$d=18-b$．此时容易推出奇数项有相同项，矛盾
因此不存在 $M$ 的 $4$ 元基底．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
