函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，已知 $x>0$ 时，$f(x)>0$，并且对任意 $m,n \in \mathbb R$，都有 $f(m+n)=f(m)+f(n)$．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
-
讨论函数 $f(x)$ 的奇偶性以及单调性；标注答案奇函数，$f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上是增函数解析由已知，令 $m=0$ 得$$f(0)=0.$$令 $m=x$，$n=-x$ 得$$f(-x)=-f(x),$$所以 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上是奇函数．
设 $x_1,x_2 \in \mathbb R$，且 $x_2>x_1$，则$$x_2-x_1>0.$$由 $f(x)$ 是奇函数和已知可得：$$f(x_2-x_1)=f(x_2)+f(-x_1)=f(x_2)-f(x_1)>0,$$所以 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上是增函数． -
设集合 $A=\{(x,y)\mid f(3x^2)+f(4y^2)\leqslant 24\}$，$B=\{(x,y)\mid f(x)-f(ay)+f(3)=0\}$，$C=\left\{(x,y)\mid f(x)=\dfrac 12f( y^2)+f(a) \right\}$ 且 $f(1)=2$，若 $A\cap B \neq \varnothing$ 且 $A\cap C \neq \varnothing$，试求实数 $a$ 的取值范围．标注答案$\left[-\dfrac {13}{6},-\dfrac {\sqrt {15}}{3} \right]\cup \left[\dfrac {\sqrt {15}}{3},2\right]$解析因为$$f(1)=2,f(m+n)=f(m)+f(n),$$所以$$24=12f(1)=f(12),$$因此$$f(3x^2+4y^2)\leqslant 24,$$即$$f(3x^2+4y^2)\leqslant f(12),$$从而$$A=\{(x,y)\mid 3x^2+4y^2 \leqslant 12\};$$由$$f(x)-f(ay)+f(3)=0,$$得$$f(x-ay+3)=f(0),$$从而$$B=\{(x,y)\mid x-ay+3=0\}.$$由$$f(x)=\dfrac 12f(y^2)+f(a),$$得$$f(2x-2a)=f(y^2),$$从而$$C=\left\{(x,y)\mid y^2=2(x-a)\right\}.$$由 $A\cap B \neq \varnothing $ 可求得$$|a|\geqslant \dfrac {\sqrt {15}}{3},$$由 $A\cap C \neq \varnothing $ 可求得$$-\dfrac {13}{6}\leqslant a \leqslant 2,$$所以实数 $a$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac {13}{6},-\dfrac {\sqrt {15}}{3} \right]\cup \left[\dfrac {\sqrt {15}}{3},2\right]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
