若集合 $A$ 具有以下性质：
① $1\in A$；
② 若 $x,y\in A$，则 $x-y\in A$；
③ 若 $x\ne0$，$x\in A$，则 $\dfrac1x\in A$
则称集合 $A$ 为好集．
① $1\in A$；
② 若 $x,y\in A$，则 $x-y\in A$；
③ 若 $x\ne0$，$x\in A$，则 $\dfrac1x\in A$
则称集合 $A$ 为好集．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
分别判断集合 $B=\{-1,0,1\}$，有理数 $\mathbb Q$ 是否是“好集”，并说明理由；标注答案$B$ 不是好集，有理数集 $\mathbb Q$ 是好集解析$B$ 不是好集，有理数集 $\mathbb Q$ 是好集．
-
设集合 $A$ 是“好集”，求证：若 $x,y\in A$，则 $x+y\in A$；标注答案略解析由性质 ② 结合 $x,y\in A$，得$$x,y,0,x-y,y-x,-x,-y\in A,$$因此 $x-(-y)=x+y\in A$ 成立．
-
对任意一个“好集”$A$，分别判断下面命题的真假，并说明理由．
命题 $p$：若 $x,y\in A$，则 $xy\in A$；
命题 $q$：若 $x,y\in A$，且 $x\ne0$，则 $\dfrac{y}{x}\in A$．标注答案命题 $p$ 和命题 $q$ 均为真命题解析命题 $p$ 和命题 $q$ 均为真命题，证明如下：
由性质 ③ 显然若命题 $p$ 成立，则命题 $q$ 成立．
考虑到 $xy=\dfrac{(x+y)^2-x^2-y^2}{2}$，因此我们证明以下两个引理即可：引理1 若 $x\in A$，则 $\dfrac{x}{2}\in A$；引理2 若 $x\in A$，则 $x^2\in A$．引理1的证明 情形一 若 $x=0$，则命题得证；情形二 若 $x\ne0$，因为 $x\in A$，所以 $\dfrac1x\in A$，因此由 $(2)$ 知$$\dfrac1x+\dfrac1x=\dfrac2x\in A,$$故 $\dfrac{x}{2}\in A$．
因此，引理1成立．引理2的证明 情形一 若 $x=0$ 或 $x=1$，则命题得证；情形二 若 $x\ne0$ 且 $x\ne1$，用分析法，有\[\begin{split}x^2\in A&\Leftarrow x^2-x\in A\\ &\Leftarrow \dfrac{1}{x^2-x}\in A\\ &\Leftarrow \dfrac{1}{x-1}-\dfrac1x\in A \\ &\Leftarrow \dfrac{1}{x-1},\dfrac1x\in A\\ &\Leftarrow x-1,x\in A\\ &\Leftarrow 1,x\in A,\end{split}\]得证．
因此，引理2成立．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
