对于函数 $f(x)$，若 $f(x_0)=x_0$，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的“不动点”；若 $f(f(x_0))=x_0$，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的“稳定点”．函数 $f(x)$ 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 $A$ 和 $B$，即 $A=\{x\mid f(x)=x\}$，$B=\{x\mid f(f(x))=x\}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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设函数 $f(x)=3x+4$，求集合 $A$ 和 $B$；标注答案$A=\{-2\}$，$B=\{-2\}$解析因为$$f[f(x)]=3(3x+4)+4=9x+16,$$所以令$$f[f(x)]=9x+16=x,$$得 $B=\{-2\}$．
令$$f(x)=3x+4=x,$$得 $A=\{-2\}$． -
求证：$A\subseteq B$；标注答案略解析若 $\alpha\in A$，则 $\alpha$ 是方程 $f(x)=x$ 的根，即$$f(\alpha)=\alpha,$$于是$$f[f(\alpha)]=f(\alpha)=\alpha,$$所以 $\alpha$ 是方程 $f[f(x)]=x$ 的根，于是 $\alpha\in B$，因此 $A\subseteq B$．
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设函数 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a\ne 0$），且 $A=\varnothing$，求证：$B=\varnothing$．标注答案略解析$f[f(x)]=x$ 等价于$$a[f(x)]^2+bf(x)+c=x,$$等价于$$a[f(x)]^2-ax^2+bf(x)-bx+c-c+f(x)-x=0,$$等价于$$[f(x)-x][af(x)+ax+b+1]=0,$$等价于$$[f(x)-x][a^2x^2+(ab+a)x+ac+b+1]=0.$$因为 $f(x)-x=0$ 无解，所以 $ax^2+(b-1)x+c=0$ 无解，即$$(b-1)^2-4ac<0,$$对于方程 $a^2x^2+(ab+a)x+ac+b+1=0$，其判别式$$a^2(b+1)^2-4a^2(ac+b+1)=a^2[(b-1)^2-4ac-4]<-4a^2<0,$$所以方程 $f[f(x)]=x$ 无解，因此原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
