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已知集合 $A = \left\{ \left( {x, y} \right)\left|{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} \leqslant \dfrac{4}{5} \right.\right\}$，$B = \left\{ {\left( {x, y} \right)\big|\left| {x - 1} \right| + 2\left| {y - 2} \right| \leqslant a} \right\}$，且满足 $A \subseteq B$，求实数 $a$ 的范围．
【难度】
【出处】
2008年浙江大学自主招生保送生测试试题
【标注】
  • 方法
    >
    数形结合
    >
    不等式(组)的规划
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    圆
    >
    圆的方程
    >
    圆的标准方程
  • 知识点
    >
    函数
    >
    集合与映射
    >
    集合与集合的关系
【答案】
$\left[2,+\infty\right)$
【解析】
因为集合 $A,B$ 中的点都关于 $P(1,2)$ 对称，所以考虑直线$$\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) - a = 0,$$则点 $P$ $\left({1,2} \right)$ 到该直线的距离不小于圆的半径 $ \sqrt {\dfrac{4}{5}} $，即$$ \dfrac{a}{{\sqrt 5 }} \geqslant \sqrt {\dfrac{4}{5}} ,$$所以 $ a \geqslant 2$．
答案 解析 备注
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