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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
26383 597ede70d05b90000addb4a6 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)$ 满足 $\forall x\in {\mathbb R},\left|f(x)\right|\leqslant 1$，且 $\forall a,b\in{\mathbb R},f(ab)=af(b)+bf(a)$．求证：$f(x)\equiv 0$． 2022-04-17 20:26:54
26236 596339c13cafba000ac43f93 高中 解答题 自招竞赛 函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，已知 $x>0$ 时，$f(x)>0$，并且对任意 $m,n \in \mathbb R$，都有 $f(m+n)=f(m)+f(n)$． 2022-04-17 20:07:53
25246 5927a77f74a309000997fc40 高中 解答题 高考真题 已知 $f(x)$ 定义域为 $\mathbb R$，满足
① $f(1)=1>f(-1)$；
② 对任意实数 $x,y$，有 $f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1)$．		 2022-04-17 20:06:44
23975 590828a4060a050008e62215 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，且满足：
① $f(1)=2$；
② $\forall x,y\in\mathbb R,f(x+y+1)=f(x-y+1)-f(x)f(y)$；
③ $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上单调递增．		 2022-04-17 20:28:32
23793 590bf095d42ca7000a7e7def 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)$ 是定义在 $(-1,1)$ 上的函数，$f\left(\dfrac 12\right)=-1$，且对任意 $x,y\in (-1,1)$，有 $f(x)+f(y)=f\left(\dfrac{x+y}{1+xy}\right)$． 2022-04-17 20:51:30
23045 5910237540fdc7000a51cf1c 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)$ 是定义在区间 $(-1,1)$ 上的函数，且满足下列性质：
① $f(x)$ 是定义在区间 $(-1,1)$ 上的增函数；
② 对于定义域内的任意实数 $x,y$ 满足$$f(x)+f(y)=f\left(\dfrac {x+y}{1+xy}\right).$$		 2022-04-17 20:55:23
22918 59267a7aee79c2000759a9db 高中 解答题 高中习题 已知定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 满足：$f(1)=\dfrac{5}{2}$，且对于任意实数 $x,y$，总有 $f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)$ 成立． 2022-04-17 20:50:22
22508 59269d7f74a309000997fbcd 高中 解答题 高中习题 已知函数 $y=f(x),x\in\mathbb N^{*},y\in\mathbb N^{*}$，满足：
① 对任意 $a,b\in\mathbb N^{*}$，$a\ne b$，都有 $af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a)$；
② 对任意 $n\in\mathbb N^{*}$ 都有 $f[f(n)]=3n$．		 2022-04-17 20:51:18
22507 59269e8174a309000ad0ce4f 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)$ 满足下列条件：
① 函数 $f(x)$ 定义域为 $[0,1]$；
② 对于任意 $x\in[0,1]$，$f(x)\geqslant 0$，且 $f(0)=0$，$f(1)=1$；
③ 对于满足条件 $x_{1},x_{2}\geqslant 0$，$x_{1}+x_{2}\leqslant 1$ 的任意两个数 $x_{1},x_{2}$，有 $f(x_{1}+x_{2})\geqslant f(x_{1})+f(x_{2})$．		 2022-04-17 20:51:18
17270 5989177e5ed01a000ba75ca2 高中 解答题 自招竞赛 求所有函数 $f:\mathbb R:\mathbb R$，使得对任意 $x,y$，都有 $f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy$，且 $x^{2}-|x|^{\frac{1}{2}}\leqslant f(x)\leqslant x^{2}+|x|^{\frac{1}{2}}$． 2022-04-17 19:47:30
15126 5cc66911210b28021fc75c5a 高中 解答题 自招竞赛 对任意正整数 $m,n$，定义函数 $f(m,n)$ 如下：
① $f(1,1)=1$；
② $f(m+1,n)=f(m,n)+2(m+n)$；
③ $f(m,n+1)=f(m,n)+2(m+n-1)$．		 2022-04-17 19:48:10
15014 6007a85e887486000a487923 高中 解答题 自招竞赛 对怎样的实数 $a$，存在函数 $f(x)$ 满足如下条件：
（a）$f(0)=f(\frac{\pi}{4})=1$；
（b）当 $0\leqslant x\leqslant \frac{\pi}{4}$ 时，$|f(x)|\leqslant 2$；
（c）对于任意 $x_1,x_2\in\mathbb{R}$，都有 $f(x_1+x_2)+f(x_1-x_2)=2f(x_1)\cos 2x_2+4a\sin^2x_2$？
试求出 $a$ 的取值范围并给出相应的函数 $f(x)$ 的表达式．		 2022-04-17 19:48:09
13280 598914055ed01a000ad799eb 高中 填空题 自招竞赛 定义函数 $\varphi(n)$ 表示 $1,2,\cdots,n$ 中与 $n$ 互质的数的个数，称此函数为欧拉函数，则 $\varphi(2013)=$  ． 2022-04-16 22:59:47
11659 59128954e020e7000878f908 高中 填空题 自招竞赛 已知函数 $f\left( x \right)$ 满足：$f\left( {p + q} \right) = f\left( p \right)f\left( q \right)$，$f\left( 1 \right) = 3$，则
$\dfrac{{{f^2}\left( 1 \right) + f\left( 2 \right)}}{{f\left( 1 \right)}} + \dfrac{{{f^2}\left( 2 \right) + f\left( 4 \right)}}{{f\left( 3 \right)}} + \dfrac{{{f^2}\left( 3 \right) + f\left( 6 \right)}}{{f\left( 5 \right)}} + \dfrac{{{f^2}\left( 4 \right) + f\left( 8 \right)}}{{f\left( 7 \right)}} =$  ．		 2022-04-16 22:03:33
11418 5cde6328210b280220ed306b 高中 填空题 自招竞赛 设 $\displaystyle g(n)=\sum\limits_{k=1}^n(k,n)$，其中 $n\in\mathbf N^{\ast},(k,n)$ 表示 $k$ 与 $n$ 的最大公因数．则 $g(100)$ 的值为 ． 2022-04-16 22:53:30
11366 622efe55ea59ab0009118a4b 高中 填空题 高中习题 已知函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上是减函数，若 $f(x)>f(2-x)$，则 $x$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 22:25:30
10596 59127c57e020e7000a798b1e 高中 填空题 自招竞赛 定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $y = f\left( x \right)$，它具有下述性质：
① 对任何 $x \in \mathbb R$，都有 $f\left( {{x^3}} \right) = {f^3}\left( x \right)$；
② 对任何 ${x_1}, {x_2} \in \mathbb R$，${x_1} \ne {x_2}$，都有 $f\left( {{x_1}} \right) \ne f\left( {{x_2}} \right)$．
则 $f\left( 0 \right) + f\left( { - 1} \right) + f\left( 1 \right)$ 的值为 ．		 2022-04-16 22:50:19
9571 59098d1e38b6b4000adaa227 高中 填空题 高中习题 已知函数 $f(x)$ 的定义域是 $D$，若对于任意 $x_1,x_2\in D$，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)\leqslant f(x_2)$，则称函数 $f(x)$ 为在 $D$ 上的非减函数．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上是非减函数，且满足以下三个条件：
① $f(0)=0$；
② $f\left(\dfrac x5\right)=\dfrac 12f(x)$；
③ $f(1-x)=1-f(x)$．
则 $f\left(\dfrac 45\right)=$  ，$f\left(\dfrac{1}{12}\right)=$  ，$f\left(\dfrac{1}{2016}\right)=$  ．		 2022-04-16 22:19:10
7884 590c2ca4857b420007d3e511 高中 填空题 自招竞赛 定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=0$，$f(x)+f(1-x)=1$，$f\left(\dfrac{x}{5}\right)=\dfrac 12f(x)$，且当 $0\leqslant x_1<x_2\leqslant 1$ 时，$f(x_1)\leqslant f(x_2)$，则 $f\left(\dfrac{1}{2015}\right)=$  ． 2022-04-16 21:53:54
7879 590c2e7c857b420007d3e51b 高中 填空题 高中习题 已知 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，$f(1)=\dfrac 14$，且满足$$4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),$$则 $f(2016)=$  ． 2022-04-16 21:51:54
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