求所有函数 $f:\mathbb R:\mathbb R$，使得对任意 $x,y$，都有 $f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy$，且 $x^{2}-|x|^{\frac{1}{2}}\leqslant f(x)\leqslant x^{2}+|x|^{\frac{1}{2}}$．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
$f(x)=x^{2}$
【解析】
设 $g(x)=f(x)-x^{2}$，则对任意 $x,y$ 都有\[g(x+y)=g(x)+g(y) \text{且} |g(x)|\leqslant |x|^{\frac{1}{2}}.\]由上述关系式，对任意 $x$ 和正整数 $n$，\[|g(x)|=\dfrac{|g(nx)|}{n}\leqslant \sqrt{\dfrac{x}{n}},\]令 $n$ 趋于无穷得，$g(x)=0$．从而 $f(x)=x^{2}$．
答案
解析
备注
