已知定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 满足：$f(1)=\dfrac{5}{2}$，且对于任意实数 $x,y$，总有 $f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)$ 成立．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $f(0)$ 的值，并证明函数 $f(x)$ 为偶函数；标注答案$f(0)=2$，证明略解析令 $x=1$，$y=0$ 得 $f(1)f(0)=f(1)+f(1)$，解得 $f(0)=2$．取 $x=0$，有 $2f(y)=f(y)+f(-y)$，所以 $f(y)=f(-y)$，于是 $f(x)$ 是偶函数．
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定义数列 $\{a_{n}\}$：$a_{n}=2f(n+1)-f(n)(n=1,2,3,\cdots)$，求证：$\{a_{n}\}$ 为等比数列；标注答案略解析令 $y=1$，则 $\dfrac{5}{2}f(x)=f(x+1)+f(x-1)$，即\[2f(x+1)+2f(x-1)=5f(x),\]于是\[2f(x+1)-f(x)=2\left[2f(x)-f(x-1)\right],\]所以 $\{a_{n}\}$ 为公比为 $2$ 的等比数列．
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若对于任意非零实数 $y$，总有 $f(y)>2$．设有理数 $x_{1},x_{2}$ 满足 $|x_{1}|<|x_{2}|$，判断 $f(x_{1})$ 和 $f(x_{2})$ 的大小关系，并证明你的结论．标注答案$f(x_{2})>f(x_{1})$，证明略解析对于任意非零实数 $y$，$f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)>2f(x)$，所以\[f(x+y)-f(x)>f(x)-f(x-y).\]设 $x=ky$，则\[f(x+y)-f(x)>f(x)-f(x-y)>f(x-y)-f(x-2y)>\cdots >f(y)-f(0)=0,\]于是\[f\left[(k+1)x\right]>f(kx)\cdots\cdots\text{ ① }\]由 $f(x)$ 是偶函数，因此只需考查 $x_{2}>x_{1}>0$ 时的情形．
设 $x_{1}=\dfrac{n_{1}}{m_{1}}$，$x_{2}=\dfrac{n_{2}}{m_{2}}$，则 $x_{1}=\dfrac{n_{1}m_{2}}{m_{1}m_{2}}$，$x_{2}=\dfrac{n_{2}m_{1}}{m_{1}m_{2}}$，且 $n_{2}m_{1}>n_{1}m_{2}$．
在 $ ① $ 中，令 $x=\dfrac{1}{m_{1}m_{2}}$，则\[f(x_{2})=f\left(\dfrac{n_{2}}{m_{2}}\right)=f\left(\dfrac{n_{2}m_{1}}{m_{1}m_{2}}\right)>f\left(\dfrac{n_{2}m_{1}-1}{m_{1}m_{2}}\right)>\cdots>f\left(\dfrac{n_{1}m_{2}}{m_{1}m_{2}}\right)=\dfrac{n_{1}}{m_{1}}=f(x_{1}).\]因此 $f(x_{2})>f(x_{1})$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
