已知函数 $f(x)$ 是定义在区间 $(-1,1)$ 上的函数，且满足下列性质：
① $f(x)$ 是定义在区间 $(-1,1)$ 上的增函数；
② 对于定义域内的任意实数 $x,y$ 满足$$f(x)+f(y)=f\left(\dfrac {x+y}{1+xy}\right).$$
① $f(x)$ 是定义在区间 $(-1,1)$ 上的增函数；
② 对于定义域内的任意实数 $x,y$ 满足$$f(x)+f(y)=f\left(\dfrac {x+y}{1+xy}\right).$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求 $f(0)$ 的值，判断并证明 $f(x)$ 的奇偶性；标注答案$f(0)=0$，$f(x)$ 为奇函数解析第 $(1)$ 小题比较简单，直接赋值即可：
令 $x=y=0$ 得 $f(0)=0$；令 $y=-x$，得 $f(x)$ 为奇函数； -
若 $f\left(\dfrac 12\right)=1$，试比较$$f\left(\dfrac 15\right)+f\left(\dfrac{1}{11}\right)+f\left(\dfrac {1}{19}\right)+f\left(\dfrac{1}{29}\right)+\cdots+f\left(\dfrac{1}{89}\right)$$与 $1$ 的大小．标注答案小于 $1$解析下面分析第 $(2)$ 小题：首先对第 $(2)$ 小题的求和尝试倒序相加，没有结果；尝试分析要求和的函数值对应的自变量$$\dfrac 15,\dfrac{1}{11},\dfrac {1}{19},\cdots,\dfrac {1}{89},$$它们的通项公式为$$a_n=\dfrac{1}{n^2+n-1},n=2,3,\cdots,9.$$尝试对通项进行裂项$$\dfrac{1}{n^2+n-1}=\dfrac {\frac{1}{n^2+n}}{1-\frac{1}{n^2+n}}=\dfrac {\frac 1n-\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n(n+1)}}.$$再借助题目中的式子，将自变量的裂项转化成函数值的裂项即可．书写如下：
$(2)$ 由 $(1)$ 知$$f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f\left(\dfrac {x-y}{1-xy}\right).$$又因为$$\dfrac{1}{n^2+n-1}=\dfrac{\frac 1n-\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n(n+1)}},$$所以$$f\left(\dfrac{1}{n^2+n-1}\right)=f\left(\dfrac 1n\right )-f\left(\dfrac{1}{n+1}\right ).$$记$$S=f\left(\dfrac 15\right )+f\left(\dfrac{1}{11}\right)+f\left(\dfrac{1}{19}\right)+f\left(\dfrac {1}{29}\right)+\cdots+f\left(\dfrac{1}{89}\right),$$则\[\begin{split}S&=f\left(\dfrac 12\right )-f\left(\dfrac 13\right )+f\left(\dfrac 13\right )-f\left(\dfrac 14\right)+\cdots+f\left(\dfrac 19\right)-f\left(\dfrac {1}{10}\right)\\&=f\left(\dfrac 12\right)-f\left(\dfrac {1}{10}\right).\end{split}\]因为 $f(x)$ 是 $(-1,1)$ 上的增函数，所以$$f\left(\dfrac {1}{10}\right )>f(0)=0,$$所以 $S<f\left(\dfrac 12\right )=1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
