已知 $f(x)$ 是定义在 $(-1,1)$ 上的函数，$f\left(\dfrac 12\right)=-1$，且对任意 $x,y\in (-1,1)$，有 $f(x)+f(y)=f\left(\dfrac{x+y}{1+xy}\right)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求证：$f(x)$ 是奇函数；标注答案略解析令 $x=y=0$，可得 $2f(0)=f(0)$，于是 $f(0)=0$．再令 $y=-x$，则有$$f(x)+f(-x)=f(0)=0,$$于是命题得证．
-
若数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1=\dfrac 12$，$x_{n+1}=\dfrac{2x_n}{1+x_n^2}$，求 $f(x_n)$；标注答案$f(x_n)=-2^{n-1}$（$n\in\mathbb N^*$）解析令 $x=y=x_n$ 可得$$2f(x_n)=f\left(\dfrac{2x_n}{1+x_n^2}\right)=f(x_{n+1}),$$于是 $\{f(x_n)\}$ 是首项为 $f\left(\dfrac 12\right)=-1$，公比为 $2$ 的等比数列，进而 $f(x_n)=-2^{n-1}$（$n\in\mathbb N^*$）．
-
证明：$1+f\left(\dfrac 15\right)+f\left(\dfrac 1{11}\right)+\cdots +f\left(\dfrac{1}{n^2+3n+1}\right)+f\left(\dfrac{1}{n+2}\right)=0$．标注答案略解析根据题意，有\[\begin{split} f\left(\dfrac{1}{k^2+3k+1}\right)&=f\left(\dfrac{(k+2)-(k+1)}{(k+2)\cdot (k+1)-1}\right)\\
&=f\left(\dfrac{\dfrac{1}{k+1}-\dfrac{1}{k+2}}{1-\dfrac{1}{k+1}\cdot \dfrac{1}{k+2}}\right)\\
&=f\left(\dfrac{1}{k+1}\right)+f\left(-\dfrac{1}{k+2}\right)\\
&=f\left(\dfrac{1}{k+1}\right)-f\left(\dfrac{1}{k+2}\right),\end{split}\]于是$$\sum_{k=1}^{n}f\left(\dfrac{1}{k^2+3k+1}\right)=\sum_{k=1}^{n}\left[f\left(\dfrac{1}{k+1}\right)-f\left(\dfrac{1}{k+2}\right)\right]=f\left(\dfrac 12\right)-f\left(\dfrac{1}{n+2}\right),$$因此原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
