对怎样的实数 $a$，存在函数 $f(x)$ 满足如下条件：
（a）$f(0)=f(\frac{\pi}{4})=1$；
（b）当 $0\leqslant x\leqslant \frac{\pi}{4}$ 时，$|f(x)|\leqslant 2$；
（c）对于任意 $x_1,x_2\in\mathbb{R}$，都有 $f(x_1+x_2)+f(x_1-x_2)=2f(x_1)\cos 2x_2+4a\sin^2x_2$？
试求出 $a$ 的取值范围并给出相应的函数 $f(x)$ 的表达式．
（a）$f(0)=f(\frac{\pi}{4})=1$；
（b）当 $0\leqslant x\leqslant \frac{\pi}{4}$ 时，$|f(x)|\leqslant 2$；
（c）对于任意 $x_1,x_2\in\mathbb{R}$，都有 $f(x_1+x_2)+f(x_1-x_2)=2f(x_1)\cos 2x_2+4a\sin^2x_2$？
试求出 $a$ 的取值范围并给出相应的函数 $f(x)$ 的表达式．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(1)
【标注】
【答案】
略
【解析】
假设存在满足条件的函数 $f(x)$．
在 $f(x_1+x_2)+f(x_1-x_2)=2f(x_1)\cos2x_2+4a\sin^2x_2$ 中，令 $x_1=0, x_2=x$，得$$f(x)+f(-x)=2f(0)\cos2x+4a\sin^2x=2cos2x+4a\sin^2x.$$令 $x_1=\frac{\pi}{4}+x, x_2=\frac{\pi}{4}$，得$$f(x)+f(\frac{\pi}{2}+x)=2f(\frac{\pi}{4}+x)\cos\frac{\pi}{2}+4a\sin^2\frac{\pi}{4}=2a.$$令 $x_1=\frac{\pi}{4}, x_2=\frac{\pi}{4}+x$，得$$\begin{aligned}
f(\frac{\pi}{2}+x)+f(-x)&=2f(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{\pi}{2}+2x)+4a\sin^2(\frac{\pi}{4}+x)\\
&=2\cos(\frac{\pi}{2}+2x)+4a\sin^2(\frac{\pi}{4}+x).\\
\end{aligned}.$$② - ③，得$$f(x)-f(-x)=2a-2\cos(\frac{\pi}{2}+2x)-4a\sin^2(\frac{\pi}{4}+x).$$$( ① + ④ )/2$，得$$\begin{aligned}
f(x)&=\cos2x+2a\sin^2x+\sin2x+a(1-2\sin^2(\frac{\pi}{4}+x))\\
&=\cos2x+\sin2x+2a\sin^2x+a\cos(\frac{\pi}{2}+2x)\\
&=\cos2x+\sin2x-a\sin2x-a\cos2x+a\\
&=\sqrt{2}(1-a)\sin(2x+\frac{\pi}{4})+a.\\
\end{aligned}$$易知，当 $0\leqslant x\leqslant \frac{\pi}{4}$ 时，$\frac{\sqrt{2}}{2}\leqslant \sin(2x+\frac{\pi}{4})\leqslant 1$．
当 $a<1$ 时，有 $1\leqslant f(x)\leqslant \sqrt{2}(1-a)+a$，若 $|f(x)|\leqslant 2$，则 $\sqrt{2}(1-a)+a\leqslant 2$，解得 $a\geqslant -\sqrt{2}$，故此时 $-\sqrt{2}\leqslant a<1$．
当 $a=1$ 时，有 $|f(x)|=1<2$ 满足条件．
当 $a>1$ 时，有 $\sqrt{2}(1-a)+a\leqslant f(x)\leqslant 1$，若 $|f(x)|\leqslant 2$，则 $\sqrt{2}(1-a)+a\geqslant -2$，解得 $a\leqslant 4+3\sqrt{2}$，故此时 $1<a\leqslant 4+3\sqrt{2}$．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $[-\sqrt{2},4+3\sqrt{2}]$，相应的函数$$f(x)=\sqrt{2}(1-a)\sin(2x+\frac{\pi}{4})+a.$$
在 $f(x_1+x_2)+f(x_1-x_2)=2f(x_1)\cos2x_2+4a\sin^2x_2$ 中，令 $x_1=0, x_2=x$，得$$f(x)+f(-x)=2f(0)\cos2x+4a\sin^2x=2cos2x+4a\sin^2x.$$令 $x_1=\frac{\pi}{4}+x, x_2=\frac{\pi}{4}$，得$$f(x)+f(\frac{\pi}{2}+x)=2f(\frac{\pi}{4}+x)\cos\frac{\pi}{2}+4a\sin^2\frac{\pi}{4}=2a.$$令 $x_1=\frac{\pi}{4}, x_2=\frac{\pi}{4}+x$，得$$\begin{aligned}
f(\frac{\pi}{2}+x)+f(-x)&=2f(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{\pi}{2}+2x)+4a\sin^2(\frac{\pi}{4}+x)\\
&=2\cos(\frac{\pi}{2}+2x)+4a\sin^2(\frac{\pi}{4}+x).\\
\end{aligned}.$$② - ③，得$$f(x)-f(-x)=2a-2\cos(\frac{\pi}{2}+2x)-4a\sin^2(\frac{\pi}{4}+x).$$$( ① + ④ )/2$，得$$\begin{aligned}
f(x)&=\cos2x+2a\sin^2x+\sin2x+a(1-2\sin^2(\frac{\pi}{4}+x))\\
&=\cos2x+\sin2x+2a\sin^2x+a\cos(\frac{\pi}{2}+2x)\\
&=\cos2x+\sin2x-a\sin2x-a\cos2x+a\\
&=\sqrt{2}(1-a)\sin(2x+\frac{\pi}{4})+a.\\
\end{aligned}$$易知，当 $0\leqslant x\leqslant \frac{\pi}{4}$ 时，$\frac{\sqrt{2}}{2}\leqslant \sin(2x+\frac{\pi}{4})\leqslant 1$．
当 $a<1$ 时，有 $1\leqslant f(x)\leqslant \sqrt{2}(1-a)+a$，若 $|f(x)|\leqslant 2$，则 $\sqrt{2}(1-a)+a\leqslant 2$，解得 $a\geqslant -\sqrt{2}$，故此时 $-\sqrt{2}\leqslant a<1$．
当 $a=1$ 时，有 $|f(x)|=1<2$ 满足条件．
当 $a>1$ 时，有 $\sqrt{2}(1-a)+a\leqslant f(x)\leqslant 1$，若 $|f(x)|\leqslant 2$，则 $\sqrt{2}(1-a)+a\geqslant -2$，解得 $a\leqslant 4+3\sqrt{2}$，故此时 $1<a\leqslant 4+3\sqrt{2}$．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $[-\sqrt{2},4+3\sqrt{2}]$，相应的函数$$f(x)=\sqrt{2}(1-a)\sin(2x+\frac{\pi}{4})+a.$$
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