已知 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，$f(1)=\dfrac 14$，且满足$$4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),$$则 $f(2016)=$ ．
【难度】
【出处】
2010年高考重庆卷（理）
【标注】
【答案】
$\dfrac 12$
【解析】
抽象函数问题的常见思路是借助合理的赋值得到结果．
令 $y=1$ 得$$f(x)=f(x+1)+f(x-1),$$于是 $f(x+1)=f(x)-f(x-1)$，从而$$f(x)=f(x-1)-f(x-2),$$于是得到 $f(x+1)=-f(x-2)$，即 $f(x+3)=-f(x)$，所以$$f(x+6)=-f(x+3)=f(x),$$即 $f(x)$ 是周期为 $6$ 的函数．于是 $f(2016)=f(0)$．令 $y=0$ 得$$4f(x)f(0)=2f(x),$$从而有 $f(0)=\dfrac 12$，故 $f(2016)=\dfrac 12$．
令 $y=1$ 得$$f(x)=f(x+1)+f(x-1),$$于是 $f(x+1)=f(x)-f(x-1)$，从而$$f(x)=f(x-1)-f(x-2),$$于是得到 $f(x+1)=-f(x-2)$，即 $f(x+3)=-f(x)$，所以$$f(x+6)=-f(x+3)=f(x),$$即 $f(x)$ 是周期为 $6$ 的函数．于是 $f(2016)=f(0)$．令 $y=0$ 得$$4f(x)f(0)=2f(x),$$从而有 $f(0)=\dfrac 12$，故 $f(2016)=\dfrac 12$．
题目
答案
解析
备注
