已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，且满足：
① $f(1)=2$；
② $\forall x,y\in\mathbb R,f(x+y+1)=f(x-y+1)-f(x)f(y)$；
③ $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上单调递增．
① $f(1)=2$；
② $\forall x,y\in\mathbb R,f(x+y+1)=f(x-y+1)-f(x)f(y)$；
③ $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上单调递增．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求 $f(0),f(-1)$；标注答案$f(0)=0$，$f(-1)=-2$解析在 ② 中，令 $x=1$ 得 $f(y+2)=f(2-y)-2f(y)$，令 $y=1$ 得 $f(x+2)=-f(x)$，于是可得$$f(x+2)=-f(x),f(-x)=-f(x).$$由此可得 $f(0)=0$，$f(-1)=-2$．
-
求 $f(x)$ 的零点；标注答案$x=2k,k\in\mathbb Z$解析由函数 $f(x)$ 为奇函数，且为类周期函数，结合 ③ 有函数的草图如下：
因此函数 $f(x)$ 的零点为 $x=2k,k\in\mathbb Z$，证明从略． -
解不等式 $f(x)>1$．标注答案$\bigcup_{k\in\mathbb Z}\left(\dfrac 13+4k,\dfrac 53+4k\right),k\in\mathbb Z$解析令 $y=-x$ 有$$f(2x+1)+f^2(x)=2,$$若存在 $m\in(0,1)$，使得 $f(m)=1$，则 $f(2m+1)=1$．于是由函数的周期性与单调性，有$$2m+1=m+4k$$或$$2m+1=2-m+4k,$$其中 $k\in\mathbb Z$．不难解得 $m=\dfrac 13$，经验证有 $f\left(\dfrac 13\right)=1$，因此所求不等式的解集为$$\bigcup_{k\in\mathbb Z}\left(\dfrac 13+4k,\dfrac 53+4k\right),k\in\mathbb Z.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
