题目 已知函数 $f(x)$ 满足下列条件：<br/>① 函数 $f(x)$ 定义域为 $[0,1]$；<br/>② 对于任意 $x\in[0,1]$，$f(x)\geqslant 0$，且 $f(0)=0$，$f(1)=1$；<br/>③ 对于满足条件 $x_{1},x_{2}\geqslant 0$，$x_{1}+x_{2}\leqslant 1$ 的任意两个数 $x_{1},x_{2}$，有 $f(x_{1}+x_{2})\geqslant f(x_{1})+f(x_{2})$． 问题1 证明：对于任意的 $0\leqslant x\leqslant y\leqslant 1$，有 $f(x)\leqslant f(y)$； 答案1 略 解析1 因为$$x,y-x\leqslant 0 , x+y-x=y\leqslant 1,$$所以\[f\left[x+(y-x)\right]\geqslant f(x)+f(y-x),\]从而 $f(y)\geqslant f(x)$，原命题得证． 备注1 问题2 证明：对于任意的 $0\leqslant x\leqslant 1$，有 $f(x)\leqslant 2x$； 答案2 略 解析2 在 $(1)$ 中，取 $y=1$，有$$f(x)\leqslant f(1)=1.$$下面用数学归纳法证明，当 $x\in\left(\dfrac{1}{2^{n}},\dfrac{1}{2^{n-1}}\right]$ 时，$f(x)\leqslant 2x$．<br/><case>归纳基础</case>当 $n=1$ 时，$x\in\left[\dfrac{1}{2},1\right]$，$f(x)\leqslant 1\leqslant 2x$，命题成立；<br/><case>递推证明</case>设当 $n=k$ 时命题成立，即当 $x\in\left(\dfrac{1}{2^{k}},\dfrac{1}{2^{k-1}}\right]$ 时，$f(x)\leqslant 2x$ 成立．<br/>当 $x\in\left(\dfrac{1}{2^{k+1}},\dfrac{1}{2^{k}}\right]$ 时，$2x\in\left(\dfrac{1}{2^{k}},\dfrac{1}{2^{k-1}}\right]$，于是\[f(x)+f(x)\leqslant f(2x)\leqslant 4x,\]从而 $f(x)\leqslant 2x$．<br/>因此当 $x\in\bigcup\limits_{i=1,2,\cdots}\left(\dfrac{1}{2^{k+1}},\dfrac{1}{2^{k}}\right]=(0,1]$ 时，$f(x)\leqslant 2 x$．<br/>又 $x=0$ 时，$f(x)=2x=0$，所以对于任意的 $0\leqslant x\leqslant 1$，有 $f(x)\leqslant 2 x$． 备注2 问题3 不等式 $f(x)\leqslant 1.9x$ 是否对于一切 $x\in[0,1]$ 都成立？请说明理由． 答案3 不都成立 解析3 构造函数$$f(x)=\begin{cases}0,&0\leqslant x\leqslant \dfrac{1}{2}\\ 1,&\dfrac{1}{2}<x\leqslant 1\end{cases}$$则容易证明 $f(x)$ 满足条件．<br/>而$$f\left(\dfrac{1}{1.91}\right)=1\geqslant \dfrac{1.9}{1.91},$$所以对于任意 $x\in[0,1]$，不等式 $f(x)\leqslant 1.9x$ 不都成立． 备注3