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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27331 590ad4a66cddca00078f39be 高中 解答题 自招竞赛 若对任意实数 $x,y$，有 $f\left((x-y)^2\right)=\left(f(x)\right)^2-2x\cdot f(y)+y^2$，求 $f(x)$． 2022-04-17 21:12:03
27090 5910289c40fdc700073df4cf 高中 解答题 自招竞赛 己知函数 $f\left(x\right)$ 满足 $f\left({x+y}\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)+xy\left({x+y}\right)$，又 $f'\left(0\right)=1$，求函数 $f\left(x\right)$ 的解析式． 2022-04-17 21:02:01
26744 5912adcae020e7000878f988 高中 解答题 自招竞赛 已知连续函数 $f\left( x \right)$ 在 $\left[ {1, + \infty } \right)$ 上单调递增，且对任意 $x,y \in \left[ {1, + \infty } \right)$，都有 $f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right)$ 成立．证明：存在常数 $k$，使 $f\left( x \right) = kx$ 在 $x \in \left[ {1, + \infty } \right)$ 上成立． 2022-04-17 20:48:57
26723 59607e253cafba000ac43c9f 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f(x)$ 满足：对实数 $a,b$ 有 $f(a\cdot b)=af(b)+bf(a)$，且 $\left|f(x)\right|\leqslant1$，求证：$f(x)$ 恒为零．（可用以下结论：若 $\lim\limits_{x\to \infty}{g(x)}=0$，$\left|f(x)\right|\leqslant M$，$M$ 为一常数，那么 $\lim\limits_{x\to \infty}{\left(f(x)\cdot g(x)\right)}=0$．） 2022-04-17 20:36:57
26587 591427211edfe2000ade98c6 高中 解答题 高中习题 已知 $x$ 是整数，且$$f(x)=\begin{cases}x-3,&x \geqslant 10,\\
f \left(f(x+5)\right),&x<10,\end{cases}$$求 $f(x)$ 的解析式．		 2022-04-17 20:24:56
26381 597edfcad05b90000addb4ad 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，解函数方程：$f(x+y)+f(x-y)=f(x)\cdot \cos y$． 2022-04-17 20:24:54
25229 592e26eaeab1df0007bb8cbc 高中 解答题 高考真题 对于定义域为 $A$ 的函数 $f(x)$，如果任意的 $x_1,x_2\in A$，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)<f(x_2)$，则称函数 $f(x)$ 是 $A$ 上的严格增函数；函数 $f(k)$ 是在 $\mathbb N^*$ 上定义，函数值也在 $\mathbb N^*$ 中的严格增函数，并且满足条件 $f(f(k))=3k$． 2022-04-17 20:54:43
24574 59127aa1e020e70007fbed01 高中 解答题 自招竞赛 若 $\lim\limits_{x\to 0}{f\left( x \right)}=f\left( 0 \right)=1$，$f\left( 2x \right)-f\left( x \right)={{x}^{2}}$，求 $f\left( x \right)$． 2022-04-17 20:59:37
23979 5907f25a060a05000980af76 高中 解答题 高中习题 求所有的函数 $f:\mathbb R\to \mathbb R$，使得对任意 $x,y\in\mathbb R$ 有\[f(x^3)+f(y^3)=(x+y)\left[f(x^2)+f(y^2)-f(xy)\right].\] 2022-04-17 20:30:32
23857 590933cb060a05000970b2b9 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的单调函数，且对任意 $x>0$，有 $f(x)\cdot f\left(f(x)+\dfrac 1x\right)=1$，求 $f(x)$． 2022-04-17 20:25:31
22358 59a3700efc0b3d000a480c39 高中 解答题 自招竞赛 已知定义域为 $\mathbb R$ 的函数 $f(x)$ 满足：
① 存在实数 $x_0$ 使得 $f(x_0)\ne 0$；
② $f(x+y)=f(x)+f(y)$；
③ $f(xy)=f(x)\cdot f(y)$．
求证：$f(x)=x,x\in\mathbb R$．		 2022-04-17 20:31:17
22250 59c8e0b0778d470007d0f30a 高中 解答题 高中习题 已知 $f:\mathbb R\to \mathbb R$，且 $f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)\cdot f(y)-xy$，求所有满足条件的函数 $f(x)$． 2022-04-17 20:30:16
21138 5c6a1a8f210b281db9f4c6b7 高中 解答题 自招竞赛 求方程 ${{x}^{2}}+18x+30=2\sqrt{{{x}^{2}}+18x+45}$ 的所有实根之积． 2022-04-17 20:16:06
21123 5c6a3ec7210b281db9f4c70d 高中 解答题 自招竞赛 求函数 $f$ 定义在整数集合上，满足 $f\left( n \right)=\left\{ \begin{align}
& n-3 n\geqslant 1000 \\
& f\left( f\left( n+5 \right) \right) n<1000. \\
\end{align} \right.$ 求 $f\left( 84 \right)$．		 2022-04-17 20:06:06
21113 5c6a4e34210b281db9f4c763 高中 解答题 自招竞赛 求方程 $\sqrt[4]{x}=\frac{12}{7-\sqrt[4]{x}}$ 所有根的和． 2022-04-17 20:01:06
21111 5c6a4e4b210b281dbaa933b4 高中 解答题 自招竞赛 如果 ${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$，${{x}_{3}}$，${{x}_{4}}$，${{x}_{5}}$ 满足下述方程组：
$\left\{ \begin{align}
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}+{{x}_{5}}=6 \\
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}+{{x}_{5}}=12 \\
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2{{x}_{3}}+{{x}_{4}}+{{x}_{5}}=24 \\
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}+{{x}_{5}}=48 \\
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}+2{{x}_{5}}=96. \\
\end{align} \right.$
求 $3{{x}_{4}}+2{{x}_{5}}$．		 2022-04-17 20:00:06
21098 5c6a5366210b281dbaa93407 高中 解答题 自招竞赛 有一个正在向上移动的自动电梯，$A$ 从其顶端往下走到它的底端，共计走了150级．$B$ 从其底端往上走到它的顶端，共计走了75级．假定 $A$ 的速度（单位时间走的级数）是 $B$ 的速度的3倍，那么在任何一个时刻可见到的自动电梯的级数是多少（假定此数是个常数）？ 2022-04-17 20:52:05
21068 5c6b70a5210b281db9f4c853 高中 解答题 自招竞赛 求方程 $\frac{1}{{{x}^{2}}-10x-29}+\frac{1}{{{x}^{2}}-10x-45}-\frac{2}{{{x}^{2}}-10x-69}=0$ 的正数解． 2022-04-17 20:34:05
21063 5c6bab46210b281db9f4c88a 高中 解答题 自招竞赛 如果 $x$ 和 $y$ 为正整数，且 $xy+x+y=71$，${{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=880$．求 ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$． 2022-04-17 20:32:05
21056 5c6bab90210b281db9f4c8ad 高中 解答题 自招竞赛 有多少个实数 $a$ 使二次方程 ${{x}^{2}}+ax+6a=0$ 仅有整数根． 2022-04-17 20:29:05
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