已知 $f:\mathbb R\to \mathbb R$，且 $f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)\cdot f(y)-xy$，求所有满足条件的函数 $f(x)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$f(x)=x$
【解析】
设题中等式为\[{\rm eq1}:f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)\cdot f(y)-xy.\]在 ${\rm eq1}$ 中 $y\to 0$ 可得\[{\rm eq2}:f(f(x))=f(x)+f(0)\cdot f(x),\]在 ${\rm eq2}$ 中 $x\to x+y$ 可得\[{\rm eq3}:f(f(x+y))=f(x+y)+f(0)\cdot f(x+y),\]根据 ${\rm eq1}$ 和 ${\rm eq3}$ 可得\[{\rm eq4}:f(0)\cdot f(x+y)=f(x)\cdot f(y)-xy,\]在 ${\rm eq4}$ 中分别取 $y\to 1$ 和 $x\to x+1,y\to -1$，可得\[\begin{split} {\rm eq5}&:f(0)\cdot f(x+1)=f(1)\cdot f(x)-x,\\
{\rm eq6}&:f(0)\cdot f(x)=f(-1)\cdot f(x+1)+(x+1),\end{split}\]可解得\[{\rm eq7}:\left(f^2(0)-f(1)\cdot f(-1)\right)\cdot f(x)=\left(f(0)-f(-1)\right)\cdot x+f(0).\]在 ${\rm eq5}$ 中取 $ x\to -1$，可得\[f^2(0)=f(1)\cdot f(-1)+1,\]于是\[f^2(0)-f(1)\cdot f(-1)=1.\]因此由 ${\rm eq7}$ 可得\[f(x)=ax+b,\]代入 ${\rm eq2}$ 中可得\[a(ax+b)+b=ax+b+b\cdot (ax+b),\]于是\[\begin{cases} a^2=a+ab,\\ ab+b=b+b^2,\end{cases}\]解得 $(a,b)=(0,0)$（舍去）或 $(a,b)=(1,0)$，因此 $f(x)=x$．
经检验，$f(x)=x$ 符合题意．因此所有满足条件的函数为 $f(x)=x$．
{\rm eq6}&:f(0)\cdot f(x)=f(-1)\cdot f(x+1)+(x+1),\end{split}\]可解得\[{\rm eq7}:\left(f^2(0)-f(1)\cdot f(-1)\right)\cdot f(x)=\left(f(0)-f(-1)\right)\cdot x+f(0).\]在 ${\rm eq5}$ 中取 $ x\to -1$，可得\[f^2(0)=f(1)\cdot f(-1)+1,\]于是\[f^2(0)-f(1)\cdot f(-1)=1.\]因此由 ${\rm eq7}$ 可得\[f(x)=ax+b,\]代入 ${\rm eq2}$ 中可得\[a(ax+b)+b=ax+b+b\cdot (ax+b),\]于是\[\begin{cases} a^2=a+ab,\\ ab+b=b+b^2,\end{cases}\]解得 $(a,b)=(0,0)$（舍去）或 $(a,b)=(1,0)$，因此 $f(x)=x$．
经检验，$f(x)=x$ 符合题意．因此所有满足条件的函数为 $f(x)=x$．
答案
解析
备注
