已知连续函数 $f\left( x \right)$ 在 $\left[ {1, + \infty } \right)$ 上单调递增，且对任意 $x,y \in \left[ {1, + \infty } \right)$，都有 $f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right)$ 成立．证明：存在常数 $k$，使 $f\left( x \right) = kx$ 在 $x \in \left[ {1, + \infty } \right)$ 上成立．
【难度】
【出处】
2006年复旦大学推优保送生考试（A卷）
【标注】
【答案】
略
【解析】
取 $y = 1$，有$$f\left( {x + 1} \right) = f\left( x \right) + f\left( 1 \right),$$所以$$f\left( n \right) = nf\left( 1 \right),$$其中 $n \in {\mathbb{N}}$．
进一步，可以得到$$f\left( {\dfrac{1}{n}} \right) = \dfrac{1}{n}f\left( 1 \right),$$于是$$f\left( {\dfrac{m}{n}} \right) = \dfrac{m}{n}f\left( 1 \right),$$其中 $m,n \in {\mathbb{N}}$，$n \ne 0$．
因此，对任意 $x\geqslant 1$ 且 $x$ 是有理数，成立$$f\left( x \right) = xf\left( 1 \right).$$
易知对任意 $n \in {\mathbb{N}}$，且 $n \ne 0$，均存在 $m \in {\mathbb{N}}$ 使得$$\dfrac{m}{n} < x < \dfrac{{m + 1}}{n},$$于是$$f\left( {\dfrac{m}{n}} \right) < f\left( x \right) < f\left( {\dfrac{{m + 1}}{n}} \right),$$即$$\dfrac{m}{n}f\left( 1 \right) < f\left( x \right) < \dfrac{{m + 1}}{n}f\left( 1 \right).$$两边取 $n \to + \infty $，有$$f\left( x \right) = xf\left( 1 \right).$$综上，存在常数 $k = f\left( 1 \right)$，使得 $f\left( x \right) = kx$ 在 $x \in \left[ {1, + \infty } \right)$ 上成立．
答案
解析
备注
