对于定义域为 $A$ 的函数 $f(x)$，如果任意的 $x_1,x_2\in A$，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)<f(x_2)$，则称函数 $f(x)$ 是 $A$ 上的严格增函数；函数 $f(k)$ 是在 $\mathbb N^*$ 上定义，函数值也在 $\mathbb N^*$ 中的严格增函数，并且满足条件 $f(f(k))=3k$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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证明：$f(3k)=3f(k)$；标注答案略解析因为 $f(f(k))=3k$，所以$$f(3k)=f(f(f(k)))=3f(k).$$
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求 $f(3^{k-1})(k\in\mathbb N^*)$ 的值；标注答案$f(3^{k-1})=2\cdot3^{k-1},k\in\mathbb N^*$解析因为 $f(3k)=3f(k)$，所以$$ \begin{split}f(3^2k)&=3f(3k)=3^2f(k),\\f(3^3k)&=3f(3^2k)=3^3f(k),\\ &\cdots\\f(3^{n-1}k)&=3f(3^{n-2}k)=3^{n-1}f(k),\end{split}$$因此$$f(3^{k-1})=3^{k-1}f(1).$$因为 $f(f(1))=3$，设 $t=f(1)$，则有 $f(t)=3$．
因为 $f(k)$ 是严格增函数，所以必有$$1<t<3,$$又因为 $t$ 是整数，所以 $t=2$．
综上知，$f(3^{k-1})=2\cdot3^{k-1},k\in\mathbb N^*$； -
是否存在 $p$ 个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有 $p$ 值，若不存在，请说明理由．标注答案$p=3^{k-1}+1$，其中 $k\in \mathbb N^*$解析由 $(2)$ 知，当 $p$ 个连续自然数从 $3^{k-1}\to 2\cdot3^{k-1}$ 时，函数值正好也是 $p$ 个连续的自然数从$$f(3^{k-1})=2\cdot3^{k-1}\to f(2\cdot3^{k-1})=3^k.$$因此 $p=3^{k-1}+1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
