已知 $x$ 是整数，且$$f(x)=\begin{cases}x-3,&x \geqslant 10,\\
f \left(f(x+5)\right),&x<10,\end{cases}$$求 $f(x)$ 的解析式．
f \left(f(x+5)\right),&x<10,\end{cases}$$求 $f(x)$ 的解析式．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$f(n)=\begin{cases}n-3,&n \geqslant 10 \left(n\in \mathbb{Z}\right),\\
8,&n=2m+1\left(m \leqslant 4,m\in \mathbb{Z}\right),\\
7,&n=2m\left(m \leqslant 4,m \in \mathbb{Z}\right).\end{cases}$
8,&n=2m+1\left(m \leqslant 4,m\in \mathbb{Z}\right),\\
7,&n=2m\left(m \leqslant 4,m \in \mathbb{Z}\right).\end{cases}$
【解析】
当整数 $n \geqslant 10$ 时，显然有 $f(n)=n-3$．
下面我们来证明当整数 $n \leqslant 9$ 时，$$f(n)=\begin{cases}8,&n=2m+1\left(m\in\mathbb{Z}\right),\\
7,&n=2m\left(m\in\mathbb{Z}\right).\end{cases}$$归纳基础 易知$$f(9)=8,f(8)=7,f(7)=8,f(6)=7,f(5)=8.$$故当 $n=9,8,7,6,5$ 时，命题成立．
递推证明 假设当 $n=k \left(k \leqslant 9,k\in \mathbb{Z}\right)$ 时，① 式成立，则当 $n=k-5$ 时，$$f(k-5)=f\left(f(k)\right)=\begin{cases}f(7)=8,&k-5=2m+1\left(m\in\mathbb{Z}\right),\\
f(8)=7,&k-5=2m\left(m\in\mathbb{Z}\right).\end{cases}$$所以 $n=k-5$ 时，命题也成立．
综上所述，命题对任意整数 $n \leqslant 9$ 均成立．故 $f(n) \left(n\in \mathbb{Z}\right)$ 的解析式为$$f(n)=\begin{cases}n-3,&n \geqslant 10 \left(n\in \mathbb{Z}\right),\\
8,&n=2m+1\left(m \leqslant 4,m\in \mathbb{Z}\right),\\
7,&n=2m\left(m \leqslant 4,m \in \mathbb{Z}\right).\end{cases}$$
下面我们来证明当整数 $n \leqslant 9$ 时，$$f(n)=\begin{cases}8,&n=2m+1\left(m\in\mathbb{Z}\right),\\
7,&n=2m\left(m\in\mathbb{Z}\right).\end{cases}$$
f(8)=7,&k-5=2m\left(m\in\mathbb{Z}\right).\end{cases}$$所以 $n=k-5$ 时，命题也成立．
综上所述，命题对任意整数 $n \leqslant 9$ 均成立．故 $f(n) \left(n\in \mathbb{Z}\right)$ 的解析式为$$f(n)=\begin{cases}n-3,&n \geqslant 10 \left(n\in \mathbb{Z}\right),\\
8,&n=2m+1\left(m \leqslant 4,m\in \mathbb{Z}\right),\\
7,&n=2m\left(m \leqslant 4,m \in \mathbb{Z}\right).\end{cases}$$
答案
解析
备注
