已知 $f(x)$ 满足：对实数 $a,b$ 有 $f(a\cdot b)=af(b)+bf(a)$，且 $\left|f(x)\right|\leqslant1$，求证：$f(x)$ 恒为零．（可用以下结论：若 $\lim\limits_{x\to \infty}{g(x)}=0$，$\left|f(x)\right|\leqslant M$，$M$ 为一常数，那么 $\lim\limits_{x\to \infty}{\left(f(x)\cdot g(x)\right)}=0$．）
【难度】
【出处】
2006年清华大学保送生暨自主招生试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $a=b=0$，则 $f(0)=0$；
令 $a=b=1$，则 $f(1)=0$；
令 $a=b=-1$，则 $f(-1)=0$．
假设至少存在一点 $x_0$，使得 $f(x_0)\ne0$，则 $x_0\ne0,\pm1$．
利用 $f(ab)=af(b)+bf(a)$，由数学归纳法得$$f(x^n)=nx^{n-1}f(x).$$假设存在 $x_0$，使得 $f(x_0)\ne 0$．
情形一 若 $|x_0|>1$，因为 $f(x_0^n)=nx_0^{n-1}f(x_0)$，所以$$f(x_0)=\dfrac{f(x_0^n)}{nx_0^{n-1}}\ne0,$$又$$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{1}{nx_0^{n-1}}}=0,$$由条件得$$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{f(x_0^n)}{nx_0^{n-1}}}=0,$$矛盾．
故对任意 $|x|>1$，有 $f(x)=0$．
情形二 若 $0<|x_0|<1$，由$$\begin{split}f(1)&=f\left(x_0\cdot\dfrac{1}{x_0}\right)\\ &=x_0f\left(\dfrac{1}{x_0}\right)+\dfrac1{x_0}f(x_0)=0,\end{split}$$可知 $f\left(\dfrac1{x_0}\right)\ne0$，而 $\left|\dfrac{1}{x_0}\right|>1$，这与情形一的结论矛盾．
故对任意 $0<|x|<1$，有 $f(x)=0$．
综上，对任意 $x\in\mathbb R$，$f(x)=0$．
令 $a=b=1$，则 $f(1)=0$；
令 $a=b=-1$，则 $f(-1)=0$．
假设至少存在一点 $x_0$，使得 $f(x_0)\ne0$，则 $x_0\ne0,\pm1$．
利用 $f(ab)=af(b)+bf(a)$，由数学归纳法得$$f(x^n)=nx^{n-1}f(x).$$假设存在 $x_0$，使得 $f(x_0)\ne 0$．
故对任意 $|x|>1$，有 $f(x)=0$．
故对任意 $0<|x|<1$，有 $f(x)=0$．
综上，对任意 $x\in\mathbb R$，$f(x)=0$．
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