求所有的函数 $f:\mathbb R\to \mathbb R$，使得对任意 $x,y\in\mathbb R$ 有\[f(x^3)+f(y^3)=(x+y)\left[f(x^2)+f(y^2)-f(xy)\right].\]
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$f(x)=xf(1)$
【解析】
令 $y=-x$，可得 $f(-x^3)=-f(x^3)$，于是 $f(x)$ 为奇函数；令 $y=x$，可得 $f(x^3)=xf(x^2)$，于是$$xf(x^2)+yf(y^2)=xf(x^2)+xf(y^2)+yf(x^2)+yf(y^2)-(x+y)f(xy),$$整理得$$(x+y)f(xy)=xf(y^2)+yf(x^2).$$分别令 $y=1,y=-1$ 得$$\begin{cases}(x+1)f(x)=xf(1)+f(x^2),\\ (x-1)f(-x)=xf(1)-f(x^2),\end{cases}$$两式相加即得$$f(x)=xf(1).$$
答案
解析
备注
