有一个正在向上移动的自动电梯，$A$ 从其顶端往下走到它的底端，共计走了150级．$B$ 从其底端往上走到它的顶端，共计走了75级．假定 $A$ 的速度（单位时间走的级数）是 $B$ 的速度的3倍，那么在任何一个时刻可见到的自动电梯的级数是多少（假定此数是个常数）？
【难度】
【出处】
1987年第5届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
120
【解析】
设 ${{v}_{1}}$，${{v}_{2}}$，${{v}_{3}}$ 分别表示 $A$，$B$ 和自动电梯的速度（单位时间走的级数），${{t}_{1}}$，${{t}_{2}}$，$t$ 分别表示 $A$，$B$ 和自动电梯所需走的时间，则由题意：${{v}_{1}}=3{{v}_{2}}$，$ {{v}_{1}}{{t}_{1}}=150$，${{v}_{2}}{{t}_{2}}=75$．因此 ${{t}_{2}}:{{t}_{1}}=3:2$．再设 $x$ 为可见到自动电梯的级数，则
$x=\left( {{v}_{2}}+v \right){{t}_{2}}=\left( {{v}_{1}}-v\right){{t}_{1}}$，$x=75+v{{t}_{2}}=150-v{{t}_{1}}$，${{t}_{2}}=\frac{x-75}{v}$，${{t}_{1}}=\frac{150-x}{v}$，
${{t}_{2}}:{{t}_{1}}=\left( x-75 \right):\left( 150-x \right)=3:2$，$2\left(x-75 \right)=3\left( 150-x \right)$，
所以 $x=120$．
所以，可见到自动电梯的级数是120级．
$x=\left( {{v}_{2}}+v \right){{t}_{2}}=\left( {{v}_{1}}-v\right){{t}_{1}}$，$x=75+v{{t}_{2}}=150-v{{t}_{1}}$，${{t}_{2}}=\frac{x-75}{v}$，${{t}_{1}}=\frac{150-x}{v}$，
${{t}_{2}}:{{t}_{1}}=\left( x-75 \right):\left( 150-x \right)=3:2$，$2\left(x-75 \right)=3\left( 150-x \right)$，
所以 $x=120$．
所以，可见到自动电梯的级数是120级．
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