重置
序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
18963 5d527ac7210b28021fc799d7 高中 解答题 自招竞赛 如图直角三角形 $ABC$ 中，$D$ 是斜边 $AB$ 的中点，$MB\perp AB$，$MD$ 交 $AC$ 于 $N$；$MC$ 的延长线交 $AB$ 于 $E$．证明：$\angle DBN=\angle BCE$． 2022-04-17 19:20:46
18960 5d479871210b280220ed7163 高中 解答题 自招竞赛 如图$PAB,PCD$ 是圆 $O$ 的两条割线，$AD,BC$ 相交于点 $Q,T$ 是线段 $BQ$ 上一点，线段 $PT$ 与圆 $O$ 交于点 $K$，直线 $QK$ 与线段 $PA$ 交于点 $S$．证明：若 $ST\parallel PQ$，则 $B,S,K,T$ 四点共圆． 2022-04-17 19:19:46
18958 5d5387e6210b280220ed7ac1 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC=90 \circ $，$ D,G $ 是边 $ CA$ 上的两点，连接 $BD,BG$．过点 $A,G$ 分别作 $BD$ 的垂线，垂足分别为 $E,F$，连接 $CF$．已知 $BE=EF$，求证：$\angle ABG=\angle DFC.$ 2022-04-17 19:18:46
18955 5d53bc4b210b280220ed7aeb 高中 解答题 自招竞赛 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A=60^\circ$，$\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 分别切边 $AB,AC$ 于点 $D,E$，直线 $DE$ 分别与直线 $BI,CI$ 相交于点 $F,G$，证明：$FG=\dfrac{1}{2}BC$． 2022-04-17 19:16:46
18913 5d54c2dc210b280220ed7bb2 高中 解答题 自招竞赛 如图，圆 $O$（圆心为 $O$）与直线 $l$ 相离，作 $OP\perp l$，$P$ 垂足．设点 $Q$ 是 $l$ 上任意一点（不与点 $P$ 重合），过点 $Q$ 作圆 $O$ 的两条切线 $QA$ 和 $QB$，$A$ 和 $B$ 为切点，$AB$ 与 $OP$ 相交于点 $K$．过点 $P$ 作 $PM\perp QB,PN\perp QA$，$M$ 和 $N$ 为垂足．求证：直线 $MN$ 平分线段 $KP$． 2022-04-17 19:52:45
18910 5d54eee3210b28021fc79b3e 高中 解答题 自招竞赛 已知直线 $l$ 与单位圆 $S$ 相切于点 $P$，点 $A$ 与圆 $S$ 在 $l$ 的同侧，且 $A$ 到 $l$ 的距离为 $h(h>2)$，从点 $A$ 作 $S$ 的两条切线，分别与 $l$ 交于 $B,C$ 两点．求线段 $PB$ 与线段 $PC$ 的长度之乘积． 2022-04-17 19:51:45
18871 5d55319e210b28021fc79b8b 高中 解答题 自招竞赛 设 $D$ 是 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上的一点，点 $P$ 在线段 $AD$ 上，过点 $D$ 作一直线分别与线段 $AB,PB$ 交于点 $M,E$，与线段 $AC,PC$ 的延长线交于点 $F,N$．已知 $DE=DF$，求证：$DM=DN$． 2022-04-17 19:30:45
18867 5d56425e210b280220ed7d43 高中 解答题 自招竞赛 设点 $D$ 为等腰 $\triangle ABC$ 的底边 $BC$ 上一点，$F$ 为过 $A,D,C$ 三点的圆在 $\triangle ABC$ 内的弧上一点，过 $B,D,F$ 三点的圆与边 $AB$ 交于点 $E$．求证：$CD\cdot EF+DF\cdot AE=BD\cdot AF$ ① 2022-04-17 19:27:45
18849 5d47bc6c210b280220ed71ed 高中 解答题 自招竞赛 给定 $\triangle DEF$，$B,D$ 是 $AE,AF$ 上的点，$BF,DE$ 交于点 $C$，$AC,EF$ 交于点 $G$．$\triangle AEF$ 的内切圆 $\odot I$ 与边 $AE$ 切于点 $M$，占边 $AF$ 切于点 $N$．$\triangle CEF$ 的内切圆 $\odot J$ 与边 $CE$ 切于点 $P$，与边 $CF$ 切于点 $Q$．取 $IJ$ 中点 $S$．设 $S$ 在 $AC$ 上的投影为 $K$．若 $M,N,P,O$ 共圆．求证：$I,K,J,G$ 共圆． 2022-04-17 19:16:45
18845 5d492291210b28021fc794ae 高中 解答题 自招竞赛 已知凸四边形 $ABCD$，$E,F$ 为其对边的两个交点，平面内是否存在一点 $P$，满足 $PA\cdot PC=PB\cdot PD=PE\cdot PF$．若 $P$ 点存在，请问这样的 $P$ 点是否唯一。 2022-04-17 19:12:45
18839 5d566e2e210b280220ed7d8b 高中 解答题 自招竞赛 设圆 $\Gamma$ 是锐角三角形 $ABC$ 的外接圆．点 $D$ 和 $E$ 分别在线段 $AB$ 和 $AC$ 上，满足 $AD=AE$．线段 $BD$ 和 $CE$ 的垂直平分线分别与圆 $\Gamma$ 的劣弧 $\overparen{AB}$ 和 $\overparen{AC}$ 交于点 $F$ 和 $G$．证明：直线 $DE$ 与 $FG$ 平行（或重合）．（希腊） 2022-04-17 19:09:45
18834 5d567351210b28021fc79c69 高中 解答题 自招竞赛 在凸四边形 $ABCD$ 中，$AB\cdot CD=BC\cdot DA$，点 $X$ 在四边形 $ABCD$ 内部，且满足 $\angle XAB=\angle XCD,\angle XBC=\angle XDA$．证明：$\angle BXA+\angle DXC=180^\circ$．（波兰） 2022-04-17 19:05:45
18830 59bb3db177c760000717e410 高中 解答题 自招竞赛 设 $R$ 和 $S$ 是圆 $\Omega$ 上互异两点，且 $RS$ 不是直径．设 $l$ 是圆 $\Omega$ 在点 $R$ 处的切线．平面上一点 $T$ 满足，点 $S$ 是线段 $RT$ 的中点．$J$ 是圆 $\Omega$ 的劣弧 $RS$ 上一点，使得三角形 $JST$ 的外接圆 $\Gamma$ 交 $l$ 于两个不同点．记 $\Gamma$ 与 $l$ 的交点中接近 $R$ 的那个为 $A$．直线 $AJ$ 交圆 $\Omega$ 于另一点 $K$．证明：直线 $KT$ 与圆 $\Gamma$ 相切．（卢森堡） 2022-04-17 19:03:45
18824 5c820e60210b284290fc297b 高中 解答题 自招竞赛 已知三角形 $BCF$ 中，角 $B$ 是直角，在直线 $CF$ 上取点 $A$，使得 $FA=FB$，且 $F$ 在点 $A$ 和 $C$ 之间．取点 $D$，使得 $DA=DC$，且 $AC$ 是 $\angle DAB$ 的内角平分线．取点 $E$，使得 $EA=ED$，且 $AD$ 是 $\angle EAC$ 的内角平分线．设 $M$ 是线段 $CF$ 的中点，取点 $X$ 使得 $AMXE$ 是一个平行四边形（这里 $AM\parallel EX$，$AE\parallel MX$）．证明：直线 $BD$、$FX$ 和 $ME$ 三线共点。（比利时） 2022-04-17 19:00:45
18822 5c821437210b284290fc299d 高中 解答题 自招竞赛 在锐角三角形 $ABC$ 中，$AB>AC$．设 $\Gamma$ 是它的外接圆，$H$ 是它的垂心，$F$ 是由顶点 $A$ 所引高的垂足．$M$ 是边 $BC$ 的中点．$Q$ 是 $\Gamma$ 上一点，使得 $\angle HQA=90^{\circ}$，$K$ 是 $\Gamma$ 上一点，使得 $\angle HKQ=90^{\circ}$．已知点 $A,B,C,K,Q$ 互不相同，且按此顺序排列在 $\Gamma$ 上．
证明：三角形 $KQH$ 的外接圆和三角形 $FKM$ 的外接圆相切．（乌克兰）		 2022-04-17 19:58:44
18821 5c821496210b28428f14d32a 高中 解答题 自招竞赛 在三角形 $ABC$ 中，$\Omega$ 是其外接圆，$O$ 是其外心．以 $A$ 为圆心的一个圆 $\Gamma$ 与线段 $BC$ 交于两点 $D$ 和 $E$，使得 $B,D,E,C$ 互不相同，并且按此顺序排列在直线 $BC$ 上．设 $F$ 和 $G$ 是 $\Gamma$ 和 $\Omega$ 的两个交点，并且使得点 $A,F,B,C,G$ 按此顺序排列在 $\Omega$ 上．设 $K$ 是三角形 $BDF$ 的外接圆和线段 $AB$ 的另一个交点．设 $L$ 是三角形 $CGE$ 的外接圆和线段 $CA$ 的另一个交点．假设直线 $FK$ 和 $GL$ 不相同，且相交于点 $X$．
证明：$X$ 在直线 $AO$ 上．（希腊）		 2022-04-17 19:58:44
18816 5c8237f3210b284290fc29cc 高中 解答题 自招竞赛 在凸四边形 $ABCD$ 中 $\angle ABC\text{=}\angle CDA=90{}^\circ $，点 $H$ 是 $A$ 向 $BD$ 引的垂线的垂足，点 $S$ 和点 $T$ 分别在边 $AB$ 和 $AD$ 上，使得 $H$ 在 $\Delta SCT$ 内部，且 $\angle CHS-\angle CSB=90^{\circ}$，$\angle THC-\angle DTC=90^{\circ}$．
证明：直线 $BD$ 和 $\triangle TSH$ 外接圆相切．（伊朗）		 2022-04-17 19:53:44
18815 5c8237fe210b28428f14d35b 高中 解答题 自招竞赛 点 $P$ 和 $Q$ 在锐角三角形 $ABC$ 的边 $BC$ 上，满足 $\angle PAB=\angle BCA$ 且 $\angle CAQ=\angle ABC$．点 $M$ 和 $N$ 分别在直线 $AP$ 和 $AQ$ 上，使得 $P$ 是 $AM$ 的中点，且 $Q$ 是 $AN$ 的中点．证明：直线 $BM$ 和 $CN$ 的交点在三角形 $ABC$ 的外接圆上．（格鲁吉亚） 2022-04-17 19:53:44
18809 5c85c05e210b284290fc29e4 高中 解答题 自招竞赛 设三角形 $ABC$ 的顶点 $A$ 所对的旁切圆与边 $BC$ 相切于点 $A_{1}$．类似地，分别用顶点 $B$ 和顶点 $C$ 所对的旁切圆定义 $CA$ 边上的点 $B_{1}$ 和 $AB$ 边上的点 $C_{1}$．假设三角形 $A_{1}B_{1}C_{1}$ 的外接圆圆心在三角形 $ABC$ 的外接圆上．证明：三角形 $ABC$ 是直角三角形．（俄罗斯） 2022-04-17 19:49:44
18808 5c85c069210b284290fc29ea 高中 解答题 自招竞赛 设三角形 $ABC$ 是一个锐角三角形，其垂心为 $H$，设 $W$ 是边 $BC$ 上一点，与顶点 $B,C$ 均不重合．$M$ 和 $N$ 分别是过顶点 $B$ 和 $C$ 的高的垂足．记三角形 $BWN$ 的外接圆为 $\omega_{1}$，设 $X$ 是 $\omega_{1}$ 上一点，且 $WX$ 是 $\omega_{1}$ 的直径．类似地，记三角形 $CWM$ 的外接圆为 $\omega_{2}$，设 $Y$ 是 $\omega_{2}$ 上一点，且 $WY$ 是 $\omega_{2}$ 的直径．证明：点 $X,Y$ 和 $H$ 共线．（泰国） 2022-04-17 19:48:44
0.170075s