设三角形 $ABC$ 的顶点 $A$ 所对的旁切圆与边 $BC$ 相切于点 $A_{1}$．类似地，分别用顶点 $B$ 和顶点 $C$ 所对的旁切圆定义 $CA$ 边上的点 $B_{1}$ 和 $AB$ 边上的点 $C_{1}$．假设三角形 $A_{1}B_{1}C_{1}$ 的外接圆圆心在三角形 $ABC$ 的外接圆上．证明：三角形 $ABC$ 是直角三角形．（俄罗斯）
【难度】
【出处】
2013年第54届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
分别记 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A_1 B_1 C_1$ 的外接圆为 $\Omega$ 与 $\Gamma$．记 $\Omega$ 上弧 $BC$（含点 $A$）的中点为 $A_0$，类似的定义 $B_0$ 和 $C_0$．由题设，$\Gamma$ 的圆心 $Q$ 在 $\Omega$ 上．
引理：$A_0 B_1 = A_0 C_1 $，且 $A,A_0 ,B_1 ,C_1$ 四点共圆．
若 $A_0$ 与 $A$ 重合，则 $\triangle ABC$ 是等腰三角形，从而 $AB_1 = AC_1$．
若 $A_0$ 与 $A$ 不重合，由 $A_0$ 定义知，$A_0 B=A_0 C$．易知
$
B C_{1}=C B_{1}\left(=\dfrac{1}{2}(b+c-a)\right)
$
且 $
\angle C_{1} B A_{0}=\angle A B A_{0}=\angle A C A_{0}=\angle B_{1} C A_{0}
$
所以 $
\triangle A_{0} B C_{1} \cong \triangle A_{0} C B_{1}
$
从而 $A_0 B_1 = A_0 C_1$．
由 $\triangle A_0 B C_1 \cong \triangle A_0 C B_1$ 知，$\angle A_0 C_1 B=\angle A_0 B_1 C$，所以 $\angle A_0 C_1 A=\angle A_0 B_1 A$，故 $A,A_0 ,B_1 ,C_1$ 四点共圆．
显然，点 $A_1 ,B_1 ,C_1$ 在 $\Gamma$ 的某个半圆弧上，所以 $\triangle A_1 B_1 C_1$ 是钝角三角形，不妨设 $\angle A_1 B_1 C_1$ 是钝角，于是点 $Q$ 和 $B_1$ 在边 $A_1 C_1$ 的两侧；显然，点 $B$ 和 $B_1$ 也在边 $A_1 C_1$ 的两侧，所以，点 $Q$ 和 $B$ 在边 $A_1 C_1$ 的同侧．
注意到边 $A_1 C_1$ 的垂直平分线交 $\Gamma$ 于两点在 $A_1 C_1$ 的两侧，
由上面的结论知，$B_0$ 和 $Q$ 是这此交点中的点，因为点 $B_0$ 和 $Q$ 在 $A_1 C_1$ 的同侧，所以点 $B_0$ 和 $Q$ 重合，
如图所示．
由引理，直线 $QA_0$ 和 $QC_0$ 分别是边 $B_1 C_1$ 和 $A_1 B_1$ 的垂直平分线，$A_0 ,C_0$ 分别是弧 $CB,BA$ 的中点，于是
$\begin{aligned} \angle C_{1} B_{0} A_{1} &=\angle C_{1} B_{0} B_{1}+\angle B_{1} B_{0} A_{1}=2 \angle A_{0} B_{0} B_{1}+2 \angle B_{1} B_{0} C_{0} \\ &=2 \angle A_{0} B_{0} C_{0}=180^{\circ}-\angle A B C \end{aligned}$
另一方面，由引理又可得
$
\angle C_{1} B_{0} A_{1}=\angle C_{1} B A_{1}=\angle A B C
$
所以，$\angle ABC=180^{\circ}-\angle ABC$，从而 $\angle ABC=90^{\circ}$．命题得证．
引理：$A_0 B_1 = A_0 C_1 $，且 $A,A_0 ,B_1 ,C_1$ 四点共圆．若 $A_0$ 与 $A$ 重合，则 $\triangle ABC$ 是等腰三角形，从而 $AB_1 = AC_1$．
若 $A_0$ 与 $A$ 不重合，由 $A_0$ 定义知，$A_0 B=A_0 C$．易知
$
B C_{1}=C B_{1}\left(=\dfrac{1}{2}(b+c-a)\right)
$
且 $
\angle C_{1} B A_{0}=\angle A B A_{0}=\angle A C A_{0}=\angle B_{1} C A_{0}
$
所以 $
\triangle A_{0} B C_{1} \cong \triangle A_{0} C B_{1}
$
从而 $A_0 B_1 = A_0 C_1$．
由 $\triangle A_0 B C_1 \cong \triangle A_0 C B_1$ 知，$\angle A_0 C_1 B=\angle A_0 B_1 C$，所以 $\angle A_0 C_1 A=\angle A_0 B_1 A$，故 $A,A_0 ,B_1 ,C_1$ 四点共圆．
显然，点 $A_1 ,B_1 ,C_1$ 在 $\Gamma$ 的某个半圆弧上，所以 $\triangle A_1 B_1 C_1$ 是钝角三角形，不妨设 $\angle A_1 B_1 C_1$ 是钝角，于是点 $Q$ 和 $B_1$ 在边 $A_1 C_1$ 的两侧；显然，点 $B$ 和 $B_1$ 也在边 $A_1 C_1$ 的两侧，所以，点 $Q$ 和 $B$ 在边 $A_1 C_1$ 的同侧．
注意到边 $A_1 C_1$ 的垂直平分线交 $\Gamma$ 于两点在 $A_1 C_1$ 的两侧，
由上面的结论知，$B_0$ 和 $Q$ 是这此交点中的点，因为点 $B_0$ 和 $Q$ 在 $A_1 C_1$ 的同侧，所以点 $B_0$ 和 $Q$ 重合，
如图所示．
由引理，直线 $QA_0$ 和 $QC_0$ 分别是边 $B_1 C_1$ 和 $A_1 B_1$ 的垂直平分线，$A_0 ,C_0$ 分别是弧 $CB,BA$ 的中点，于是
$\begin{aligned} \angle C_{1} B_{0} A_{1} &=\angle C_{1} B_{0} B_{1}+\angle B_{1} B_{0} A_{1}=2 \angle A_{0} B_{0} B_{1}+2 \angle B_{1} B_{0} C_{0} \\ &=2 \angle A_{0} B_{0} C_{0}=180^{\circ}-\angle A B C \end{aligned}$
另一方面，由引理又可得
$
\angle C_{1} B_{0} A_{1}=\angle C_{1} B A_{1}=\angle A B C
$
所以，$\angle ABC=180^{\circ}-\angle ABC$，从而 $\angle ABC=90^{\circ}$．命题得证．
答案
解析
备注
