设 $D$ 是 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上的一点，点 $P$ 在线段 $AD$ 上，过点 $D$ 作一直线分别与线段 $AB,PB$ 交于点 $M,E$，与线段 $AC,PC$ 的延长线交于点 $F,N$．已知 $DE=DF$，求证：$DM=DN$．
【难度】
【出处】
2004中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
对 $\triangle AMD$ 和直线 $BEP$ 用梅涅劳斯定理得：$\dfrac{AP}{PD}\cdot\dfrac{DE}{EM}\cdot\dfrac{MB}{BA}=1$ ①
对 $\triangle AFD$ 和直线 $NCP$ 用梅涅劳斯定理得：$\dfrac{AC}{CF}\cdot\dfrac{FN}{ND}\cdot\dfrac{DP}{PA}=1$ ②
对 $\triangle AMF$ 和直线 $BDC$ 用梅涅劳斯定理得：$\dfrac{AB}{BM}\cdot\dfrac{MD}{DF}\cdot\dfrac{FC}{CA}=1$ ③
①②③ 式相乘得：$\dfrac{DE}{EM}\cdot\dfrac{FN}{ND}\cdot\dfrac{MD}{DF}=1$．
又 $DE=DF$，所以有 $\dfrac{DM}{DM-DE}=\dfrac{DN}{DN-DE}$．所以 $DM=DN$．
对 $\triangle AFD$ 和直线 $NCP$ 用梅涅劳斯定理得：$\dfrac{AC}{CF}\cdot\dfrac{FN}{ND}\cdot\dfrac{DP}{PA}=1$ ②
对 $\triangle AMF$ 和直线 $BDC$ 用梅涅劳斯定理得：$\dfrac{AB}{BM}\cdot\dfrac{MD}{DF}\cdot\dfrac{FC}{CA}=1$ ③
①②③ 式相乘得：$\dfrac{DE}{EM}\cdot\dfrac{FN}{ND}\cdot\dfrac{MD}{DF}=1$．
又 $DE=DF$，所以有 $\dfrac{DM}{DM-DE}=\dfrac{DN}{DN-DE}$．所以 $DM=DN$．
答案
解析
备注
